Se
for a
-ésima soma parcial da série harmônica, prove que
.
(Suzestã::
. Integre cada membro da desigualdade de
a
; faça
assumir sucessivamente os valores
, esome os resultados).
(Suzestã::
Passo 1
O enunciado define a
-ésima soma parcial da série harmônica
e pede que provemos a dupla desigualdade
Vamos usar a comparação entre somas e integrais para a função
, que é decrescente em
.
Passo 2
Como
é decrescente, para cada inteiro
e todo
valem
Integrando em
de
a
obtemos
e, calculando as integrais constantes,
Passo 3
Somando a desigualdade anterior para
resulta
Mas
logo
Passo 4
Observando que
a parte da direita dá imediatamente
Para a outra desigualdade, note que