Se sk for a k-ésima soma parcial da série harmônica, prove que ln (k+1)<sk<1+ln k.
(Suzestã:: 1m+1 <= 1x <= 1m se 0<m <= x <= m+1. Integre cada membro da desigualdade de m a m+1; faça m assumir sucessivamente os valores 1,2, ldots, n-1, esome os resultados).

Passo 1

O enunciado define a k-ésima soma parcial da série harmônica
sk = sumn=1^k 1n
e pede que provemos a dupla desigualdade
ln(k+1) < sk < 1 + ln k
Vamos usar a comparação entre somas e integrais para a função f(x)=1/x, que é decrescente em [1,infty).

Passo 2

Como 1/x é decrescente, para cada inteiro m>=1 e todo xin[m,m+1] valem
1m+1 < 1x < 1m
Integrando em x de m a m+1 obtemos
integralm^m+11m+1,dx < integralm^m+11x,dx < integralm^m+11m,dx
e, calculando as integrais constantes,
1m+1 < integralm^m+11x,dx < 1m

Passo 3

Somando a desigualdade anterior para m=1,2,dots,k resulta
summ=1^k1m+1 < integral1^k+11x,dx < summ=1^k1m
Mas
integral1^k+11x,dx = ln(k+1),
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summ=1^k1m+1 < ln(k+1) < summ=1^k1m

Passo 4

Observando que
summ=1^k1m = sk e summ=1^k1m+1 = sumn=2^k+11n = (sk+1-1),
a parte da direita dá imediatamente
ln(k+1) < sk
Para a outra desigualdade, note que
sk = 1 + sumn=2^k1n = 1 + summ=1^k-11m+1 < 1 + integral1^k1x,dx = 1 + ln k

Resposta

ln(k+1) < sk < 1 + ln k

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