Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
F(x)= \begin{cases}|x-1| & \text { se } x<-1 \\\\ 0 & \text { se } x=-1 \\\ |1-x| & \text { se } -1<x\end{cases}
(a) \lim _{x \rightarrow-1^{+}} F(x);
(b) \lim _{x \rightarrow-1^{-}} F(x);
(c) \lim _{x \rightarrow-1} F(x)

Passo 1

O enunciado dá a função definida por
F(x)=\begin{cases} |x-1| & \text{se } x<-1,\\[4pt] 0 & \text{se } x=-1,\\[4pt] |1-x| & \text{se } -1<x, \end{cases}
e pede três limites:
(a) \displaystyle \lim_{x\to -1^{+}} F(x);
(b) \displaystyle \lim_{x\to -1^{-}} F(x);
(c) \displaystyle \lim_{x\to -1} F(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • O valor da função exatamente em x=-1 é \;F(-1)=0\; (dado).
  • Para x<-1 temos \;F(x)=|x-1|\;.
  • Para x>-1 temos \;F(x)=|1-x|\;.
  • Lembrar que |1-x|=|x-1| para todo x.]

Passo 2

Entender o comportamento de [|x-1|) perto de x=-1.
Propriedade do valor absoluto importante (explicada devagar):
  • Para qualquer número real t, (|t|= \begin{cases} -t & \text{se } t<0,\\[4pt] t & \text{se } t\ge 0.\end{cases}]
  • Aplicando isso a t=x-1\) obtemos \[|x-1|=\begin{cases} 1-x & \text{se } x<1,\\[4pt] x-1 & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
Observação prática: quando x\] está perto de \(-1 (tanto à esquerda quanto à direita de -1), tem-se x<1, logo na vizinhança de -1 vale a fórmula |x-1|=1-x.
Também notar que |1-x|=|x-1| sempre, então as duas expressões nas partes da função são, na prática, a mesma função de valor absoluto.]

Passo 3

Simplificar F(x) para x próximo de -1 (mas x\neq -1).
  • Para x<-1: pela definição temos F(x)=|x-1|. Como x<1 nessa região, por passo anterior |x-1|=1-x. Logo, para x<-1 e perto de -1,
F(x)=1-x.
  • Para x>-1: pela definição temos F(x)=|1-x|. Mas |1-x|=|x-1| e, como x<1 também aqui (visto que estamos perto de -1), vale |x-1|=1-x. Logo, para x>-1 e perto de -1,
F(x)=1-x.
Conclusão útil: para todo x suficientemente próximo de -1 com x\neq -1, temos F(x)=1-x. Ou seja, o comportamento à esquerda e à direita de -1 é governado pela mesma expressão linear 1-x.

Passo 4

Calcular os limites laterais usando a expressão 1-x.
A função g(x)=1-x é linear e contínua em todo \mathbb{R}. Para funções contínuas, o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto. Assim podemos fazer substituição direta:
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to -1^{+}} F(x)=\lim_{x\to -1^{+}} (1-x)=1-(-1)=2.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to -1^{-}} F(x)=\lim_{x\to -1^{-}} (1-x)=1-(-1)=2.
Como os dois limites laterais coincidem e valem \;2\;, o limite bilateral existe e é 2.

Passo 5

Interpretação gráfica e sobre a descontinuidade.
Esboço mental do gráfico:
  • O gráfico de y=|x-1| é um “V” com vértice em (1,0); para x=-1 o valor dessa curva é |-1-1|=2, isto é, a curva passa por (-1,2).
  • Porém, a definição dada colocou F(-1)=0, ou seja, no ponto x=-1 a função toma o valor 0 (um ponto separado no gráfico em (-1,0)).
  • Portanto a curva contínua y=|x-1| tem um “buraco” em (-1,2) (o valor formal ali seria 2), e há um ponto preenchido em (-1,0). Isso corresponde a uma descontinuidade do tipo removível: o limite existe ( 2) mas o valor da função no ponto é diferente ( 0).

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to -1^{+}} F(x)=2
(b) \displaystyle \lim_{x\to -1^{-}} F(x)=2
(c) \displaystyle \lim_{x\to -1} F(x)=2

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