Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
f(x)= \begin{cases}2 & \text { se } x<-2 \\\ \sqrt{4-x^{2}} & \text { se } -2 \leqslant x \leqslant 2 \\\\ -2 & \text { se } 2<x\end{cases}
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} f(x);

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2 & \text{se } x<-2,\\[4pt] \sqrt{4-x^{2}} & \text{se } -2 \leqslant x \leqslant 2,\\[4pt] -2 & \text{se } 2<x, \end{cases}
e pede o valor de
\lim_{x\to -2^{+}} f(x).
Ou seja: aproximar x de -2 vindo pela direita (valores x>-2 próximos de -2) e ver qual valor f(x) tende.]

Passo 2

Entendendo qual ramo da função usar quando x\to -2^{+}. Como estamos aproximando por valores maiores que -2, os pontos aproximantes satisfazem -2<x\leqslant 2. Portanto, a expressão que vale para esses x é
f(x)=\sqrt{4-x^{2}}.
Uma estratégia direta é usar essa fórmula e avaliar o comportamento quando x se aproxima de -2 por valores maiores.

Passo 3

Uma forma clara de ver o limite é fazer a substituição x=-2+h com h>0 pequeno; então h\to 0^{+} corresponde a x\to -2^{+}. Substituindo na expressão do ramo relevante:
f(-2+h)=\sqrt{4-(-2+h)^{2}}.
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 4

Calcule o que está dentro da raiz:
(-2+h)^{2}=4-4h+h^{2}.
Logo
4-(-2+h)^{2}=4-(4-4h+h^{2})=4h-h^{2}=h(4-h).
Portanto, para h>0 pequeno,
f(-2+h)=\sqrt{h(4-h)}.
Agora analisamos o comportamento quando h\to 0^{+}: temos h(4-h)\to 0 e, sendo a raiz uma função contínua e não negativa, obtém-se \sqrt{h(4-h)}\to 0.

Passo 5

Interpretação e comentário final (força motivadora: boa! já está quase lá). O limite pela direita é igual ao valor que a expressão \sqrt{4-x^{2}} atinge quando x se aproxima de -2 pela direita, e a análise com h mostrou que esse valor tende a zero. Observação adicional (útil na prova): o limite pela esquerda seria diferente, pois para x<-2 temos f(x)=2; assim a função tem salto em x=-2. Isso não muda a resposta pedida (aqui só pediam o limite pela direita).

Resposta

0

Exercícios relacionados