Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
f(x)= \begin{cases}2 & \text { se } x<-2 \\\ \sqrt{4-x^{2}} & \text { se } -2 \leqslant x \leqslant 2 \\\\ -2 & \text { se } 2<x\end{cases}
\lim _{x \rightarrow-2} f(x);

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2 & \text{se } x<-2,\\[4pt] \sqrt{4-x^{2}} & \text{se } -2\le x\le 2,\\[4pt] -2 & \text{se } x>2. \end{cases}
A pergunta é: calcular o limite \lim_{x\to -2} f(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Para x<-2, f(x)=2 (uma constante).
  • Para -2\le x\le 2, f(x)=\sqrt{4-x^{2}} (parte superior de um círculo de raio 2 centrado na origem).
  • O ponto x=-2 pertence ao ramo \sqrt{4-x^{2}} (pois a desigualdade é \le), então f(-2)=\sqrt{4-(-2)^2}=\sqrt{0}=0.
O que o limite \lim_{x\to -2} f(x) exige: a existência da mesma aproximação vindo da esquerda e da direita (limites laterais iguais). A resolução começa no passo seguinte.]

Passo 2

Conceito útil (explicação didática curta): para que \lim_{x\to a} f(x) exista é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Aqui vamos calcular separadamente \lim_{x\to -2^-} f(x) (pela esquerda) e \lim_{x\to -2^+} f(x) (pela direita) e comparar.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to -2^-} f(x).
Para x<-2 o enunciado diz f(x)=2, uma função constante. Quando x se aproxima de -2 vindo da esquerda, f(x) permanece igual a 2. Logo
\lim_{x\to -2^-} f(x)=2.
Explicação adicional: uma função constante vale sempre o mesmo número; qualquer limite lateral dentro da região onde é constante é simplesmente esse número.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to -2^+} f(x).
Para -2\le x\le 2 temos f(x)=\sqrt{4-x^{2}}. A raiz quadrada é contínua para argumentos não negativos, e quando x\to -2 (pela direita) o argumento 4-x^{2} tende a
4-(-2)^{2}=4-4=0.
Pelo princípio da continuidade da raiz quadrada em 0,
\lim_{x\to -2^+} f(x)=\lim_{x\to -2^+} \sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{\,\lim_{x\to -2^+}(4-x^{2})\,}=\sqrt{0}=0.
Outra forma intuitiva: a parte \sqrt{4-x^{2}} representa a semicircunferência superior de raio 2; no extremo esquerdo dessa semicircunferência (em x=-2) a altura é 0.

Passo 5

Comparação dos limites laterais e conclusão.
Encontramos
\lim_{x\to -2^-} f(x)=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -2^+} f(x)=0.
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite bilateral \lim_{x\to -2} f(x) NÃO existe.
Comentário sobre continuidade: f(-2)=0 (porque o ramo que inclui -2 0), então a função é contínua pela direita em -2 mas tem uma descontinuidade tipo “salto” à esquerda (valor à esquerda tende a 2 enquanto o valor no ponto é 0).

Resposta

Não existe.

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