A pergunta é: calcular o limite \lim_{x\to -2} f(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Para x<-2, f(x)=2 (uma constante).
Para -2\le x\le 2, f(x)=\sqrt{4-x^{2}} (parte superior de um círculo de raio 2 centrado na origem).
O ponto x=-2 pertence ao ramo \sqrt{4-x^{2}} (pois a desigualdade é \le), então f(-2)=\sqrt{4-(-2)^2}=\sqrt{0}=0.
O que o limite \lim_{x\to -2} f(x) exige: a existência da mesma aproximação vindo da esquerda e da direita (limites laterais iguais). A resolução começa no passo seguinte.]
Passo 2
Conceito útil (explicação didática curta): para que \lim_{x\to a} f(x) exista é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Aqui vamos calcular separadamente \lim_{x\to -2^-} f(x) (pela esquerda) e \lim_{x\to -2^+} f(x) (pela direita) e comparar.
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to -2^-} f(x).
Para x<-2 o enunciado diz f(x)=2, uma função constante. Quando x se aproxima de -2 vindo da esquerda, f(x) permanece igual a 2. Logo
\lim_{x\to -2^-} f(x)=2.
Explicação adicional: uma função constante vale sempre o mesmo número; qualquer limite lateral dentro da região onde é constante é simplesmente esse número.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to -2^+} f(x).
Para -2\le x\le 2 temos f(x)=\sqrt{4-x^{2}}. A raiz quadrada é contínua para argumentos não negativos, e quando x\to -2 (pela direita) o argumento 4-x^{2} tende a
4-(-2)^{2}=4-4=0.
Pelo princípio da continuidade da raiz quadrada em 0,
Outra forma intuitiva: a parte \sqrt{4-x^{2}} representa a semicircunferência superior de raio 2; no extremo esquerdo dessa semicircunferência (em x=-2) a altura é 0.
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite bilateral \lim_{x\to -2} f(x) NÃO existe.
Comentário sobre continuidade: f(-2)=0 (porque o ramo que inclui -2 dá 0), então a função é contínua pela direita em -2 mas tem uma descontinuidade tipo “salto” à esquerda (valor à esquerda tende a 2 enquanto o valor no ponto é 0).