Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
F(x)= \begin{cases}\sqrt{x^{2}-9} & \text { se } x \leqslant-3 \\\ \sqrt{9-x^{2}} & \text { se } -3<x<3 \\\ \sqrt{x^{2}-9} & \text { se } 3 \leqslant x\end{cases}
\lim _{x \rightarrow-3^{-}} F(x);

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
F(x)= \begin{cases}\sqrt{x^{2}-9} & \text{se } x \leqslant-3,\\[4pt] \sqrt{9-x^{2}} & \text{se } -3<x<3,\\[4pt] \sqrt{x^{2}-9} & \text{se } 3 \leqslant x, \end{cases}
e pede o valor do limite lateral à esquerda
\lim_{x\to-3^{-}}F(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Para x\leqslant-3 a expressão usada é \sqrt{x^{2}-9}.
  • O limite pedido é quando x se aproxima de -3 vindo por valores menores que -3 (ou seja, pela esquerda).]

Passo 2

Explicação do que significa “limite pela esquerda” e qual ramo da função usar.
Quando se escreve \lim_{x\to-3^{-}}F(x), estamos considerando valores de x tais que x<-3 e que se aproximam cada vez mais de -3. Portanto, para calcular esse limite devemos usar a definição da função válida para x\leqslant-3, que é
F(x)=\sqrt{x^{2}-9}.
Ou seja, perto de -3 pela esquerda a função é exatamente \sqrt{x^{2}-9}.

Passo 3

Princípio que vamos usar (explicado de forma simples).
  • A função x\mapsto x^{2}-9 é um polinômio, logo é contínua em todos os pontos.
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua no intervalo [0,\infty).
  • A composição de funções contínuas é contínua em pontos onde faz sentido. Aqui, para x próximos de -3 pela esquerda temos x^{2}-9\ge 0, então a composição \sqrt{x^{2}-9} é contínua naquela vizinhança à esquerda de -3.
    Portanto, podemos obter o limite substituindo x=-3 na expressão \sqrt{x^{2}-9}, desde que a expressão esteja bem definida nesse ponto.

Passo 4

Avaliação direta na expressão usada à esquerda de -3.
Substituindo x=-3 em \sqrt{x^{2}-9} obtemos
\sqrt{(-3)^{2}-9}=\sqrt{9-9}=\sqrt{0}=0.
Pelo raciocínio de continuidade do passo anterior, isso já nos dá que
\lim_{x\to-3^{-}}\sqrt{x^{2}-9}=0.

Passo 5

Verificação alternativa (um pouco mais “técnica”, mas simples) usando a substituição x=-3-h com h>0 pequeno.
Se x=-3-h com h>0, então
x^{2}-9 = (-3-h)^{2}-9 = 9+6h+h^{2}-9 = 6h+h^{2}=h(6+h).
Logo
\sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{h(6+h)}=\sqrt{h}\,\sqrt{6+h}.
Quando h\to 0^{+} temos \sqrt{h}\to 0 e \sqrt{6+h}\to\sqrt{6} (número finito), portanto o produto tende a 0. Isso confirma que
\lim_{x\to-3^{-}}\sqrt{x^{2}-9}=0.

Resposta

0

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