Para x\leqslant-3 a expressão usada é \sqrt{x^{2}-9}.
O limite pedido é quando x se aproxima de -3 vindo por valores menores que -3 (ou seja, pela esquerda).]
Passo 2
Explicação do que significa “limite pela esquerda” e qual ramo da função usar.
Quando se escreve \lim_{x\to-3^{-}}F(x), estamos considerando valores de x tais que x<-3 e que se aproximam cada vez mais de -3. Portanto, para calcular esse limite devemos usar a definição da função válida para x\leqslant-3, que é
F(x)=\sqrt{x^{2}-9}.
Ou seja, perto de -3 pela esquerda a função é exatamente \sqrt{x^{2}-9}.
Passo 3
Princípio que vamos usar (explicado de forma simples).
A função x\mapsto x^{2}-9 é um polinômio, logo é contínua em todos os pontos.
A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua no intervalo [0,\infty).
A composição de funções contínuas é contínua em pontos onde faz sentido. Aqui, para x próximos de -3 pela esquerda temos x^{2}-9\ge 0, então a composição \sqrt{x^{2}-9} é contínua naquela vizinhança à esquerda de -3.
Portanto, podemos obter o limite substituindo x=-3 na expressão \sqrt{x^{2}-9}, desde que a expressão esteja bem definida nesse ponto.
Passo 4
Avaliação direta na expressão usada à esquerda de -3.
Substituindo x=-3 em \sqrt{x^{2}-9} obtemos
\sqrt{(-3)^{2}-9}=\sqrt{9-9}=\sqrt{0}=0.
Pelo raciocínio de continuidade do passo anterior, isso já nos dá que
\lim_{x\to-3^{-}}\sqrt{x^{2}-9}=0.
Passo 5
Verificação alternativa (um pouco mais “técnica”, mas simples) usando a substituição x=-3-h com h>0 pequeno.