Nos Exercícios
, calcule
usando a regra da cadeia.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado
. - Dado
. - Pede-se calcular
, ou seja, a derivada temporal da composição da função vetorial com a função escalar .
Passo 2
Regra da cadeia para funções vetoriais (explicação didática):
- Se
é diferenciável e é diferenciável, então
- Aqui
é o vetor derivada em relação a , e é um número (escalares). Multiplicar por significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. - Em palavras simples: diferencie cada componente de
em relação à sua variável interna , avalie em e multiplique tudo por . Isso é a versão componente-a-componente da regra da cadeia.
Passo 3
Calcular
(derivada de
em relação à variável genérica
):
- Tome
. - Derivando componente a componente em
: -
. -
. -
.
-
- Logo,
Passo 4
Calcular
:
-
e a derivada do exponencial é ele mesmo, então
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia e substituir
:
- Pela regra da cadeia,
- Substituindo
com , obtemos
- Multiplicando pelo escalar
:
- Simplificando
, resulta
Passo 6
Resumo rápido e dica para a prova (modo “cola mental”):
- Passos curtos para qualquer problema parecido: (1) calcule
em função de ; (2) calcule ; (3) forme . - Se preferir, outra rota é compor primeiro
e então derivar componente a componente; ambas são equivalentes e dão o mesmo resultado. Aqui compor primeiro daria e derivando obtém-se o mesmo vetor final.