Nos Exercícios 26-29, calcule \frac{d}{d t} \mathbf{r}(g(t)) usando a regra da cadeia.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2}, 2 t, 4\right\rangle, \quad g(t)=e^{t}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{2},\,2t,\,4\right\rangle.
  • Dado g(t)=e^{t}.
  • Pede-se calcular \dfrac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t)), ou seja, a derivada temporal da composição da função vetorial \mathbf{r} com a função escalar g.

Passo 2

Regra da cadeia para funções vetoriais (explicação didática):
  • Se \mathbf{r}(u)=\left\langle f_{1}(u),\,f_{2}(u),\,f_{3}(u)\right\rangle é diferenciável e u=g(t) é diferenciável, então
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\mathbf{r}'(g(t))\cdot g'(t).
  • Aqui \mathbf{r}'(u)=\left\langle f_{1}'(u),\,f_{2}'(u),\,f_{3}'(u)\right\rangle é o vetor derivada em relação a u, e g'(t) é um número (escalares). Multiplicar por g'(t) significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar.
  • Em palavras simples: diferencie cada componente de \mathbf{r} em relação à sua variável interna u, avalie em u=g(t) e multiplique tudo por g'(t). Isso é a versão componente-a-componente da regra da cadeia.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(u) (derivada de \mathbf{r} em relação à variável genérica u):
  • Tome \mathbf{r}(u)=\left\langle u^{2},\,2u,\,4\right\rangle.
  • Derivando componente a componente em u:
    • \dfrac{d}{du}\bigl(u^{2}\bigr)=2u.
    • \dfrac{d}{du}\bigl(2u\bigr)=2.
    • \dfrac{d}{du}\bigl(4\bigr)=0.
  • Logo,
\mathbf{r}'(u)=\left\langle 2u,\,2,\,0\right\rangle.

Passo 4

Calcular g'(t):
  • g(t)=e^{t} e a derivada do exponencial é ele mesmo, então
g'(t)=e^{t}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e substituir u=g(t):
  • Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\mathbf{r}'(g(t))\cdot g'(t).
  • Substituindo \mathbf{r}'(u)=\left\langle 2u,\,2,\,0\right\rangle com u=g(t)=e^{t}, obtemos
\mathbf{r}'(g(t))=\left\langle 2e^{t},\,2,\,0\right\rangle.
  • Multiplicando pelo escalar g'(t)=e^{t}:
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=e^{t}\left\langle 2e^{t},\,2,\,0\right\rangle=\left\langle 2e^{t}\cdot e^{t},\,2e^{t},\,0\right\rangle.
  • Simplificando e^{t}\cdot e^{t}=e^{2t}, resulta
\frac{d}{dt}\mathbf{r}(g(t))=\left\langle 2e^{2t},\,2e^{t},\,0\right\rangle.

Passo 6

Resumo rápido e dica para a prova (modo “cola mental”):
  • Passos curtos para qualquer problema parecido: (1) calcule \mathbf{r}'(u) em função de u; (2) calcule g'(t); (3) forme \mathbf{r}'(g(t))\cdot g'(t).
  • Se preferir, outra rota é compor primeiro \mathbf{r}(g(t)) e então derivar componente a componente; ambas são equivalentes e dão o mesmo resultado. Aqui compor primeiro daria \left\langle e^{2t},\,2e^{t},\,4\right\rangle e derivando obtém-se o mesmo vetor final.

Resposta

\left\langle 2e^{2t},\,2e^{t},\,0\right\rangle

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