Nos exercícios 24 a 29 , use o Teorema de Stokes para calcular \int_{c} \vec{F} \cdot d \vec{r} supondo c como orientação anti-horária olhando o eixo z positivo de cima para baixo.
\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}+y z \vec{j}+z x \vec{k}, c é o triângulo no plano x+y+z=1 com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \oint_{c}\vec{F}\cdot d\vec r para \vec F(x,y,z)=xy\,\vec i + yz\,\vec j + zx\,\vec k, sendo c a fronteira do triângulo S no plano x+y+z=1 com vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{c}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS,
onde \vec n é o versor normal à superfície compatível com a orientação de c.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \vec F. Para \vec F=(P,Q,R) com P=xy, Q=yz, R=zx, vale
\nabla\times\vec F =\bigl(R_{y}-Q_{z},\,P_{z}-R_{x},\,Q_{x}-P_{y}\bigr) =(-y,\,-z,\,-x).

Passo 3

Escolhemos o versor normal \vec n tal que, visto de cima (do eixo z positivo para baixo), a curva c seja anti-horária. O plano x+y+z=1 tem normal \pm(1,1,1); tomamos
\vec n = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}
porque sua componente z é positiva, garantindo orientação correta.

Passo 4

Então
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n =\bigl(-y,-z,-x\bigr)\cdot\frac{(1,1,1)}{\sqrt3} =-\frac{x+y+z}{\sqrt3}.
No plano de S temos x+y+z=1, logo o integrando é constante: -1/\sqrt3.

Passo 5

Fica
\oint_{c}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{S}\!-\frac{1}{\sqrt3}\,dS =-\frac{1}{\sqrt3}\,\mathrm{Area}(S).
O triângulo é equilátero de lado \sqrt2, pois a distância entre (1,0,0) e (0,1,0) é \sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}= \sqrt2. Sua área é
\mathrm{Area}(S)=\frac{(\sqrt2)^2\sqrt3}{4} =\frac{2\sqrt3}{4} =\frac{\sqrt3}{2}.

Passo 6

Substituindo,
\oint_{c}\vec F\cdot d\vec r =-\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =-\frac12.

Resposta

-\frac12

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