Nos Exercícios 9-24, use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
[lll1 & 2 & 0 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa de uma matriz 3x3 usando o algoritmo de inversão. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, onde a gente aprende sobre matrizes e como manipulá-las. Para isso, vamos precisar saber como montar a matriz aumentada e usar operações de linha para transformar a matriz original na identidade, o que vai nos dar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada, que é a matriz original ao lado da matriz identidade 3x3. Assim:
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

O próximo passo é transformar o primeiro elemento da primeira coluna em 1, o que já está feito. Agora, vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha, e a terceira linha permanece a mesma porque já tem 0 abaixo do 1.
Nova matriz:
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, vamos transformar o elemento (2,2) em 1 dividindo a segunda linha por -3:
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1 na segunda coluna. Para a primeira linha, substituímos por ela mesma menos 2 vezes a segunda linha. Para a terceira linha, substituímos por ela mesma menos 2 vezes a segunda linha:
Matriz atualizada:
[ccc|ccc 1 & 0 & 43 & 13 & 23 & 0 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 0 & 53 & -43 & 23 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos transformar o elemento (3,3) em 1 dividindo a terceira linha por 53:
[ccc|ccc 1 & 0 & 43 & 13 & 23 & 0 0 & 1 & -23 & 23 & -13 & 0 0 & 0 & 1 & -45 & 25 & 35 ]

Passo 7

Por último, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Substituímos a primeira linha por ela menos 43 vezes a terceira linha e a segunda linha por ela mais 23 vezes a terceira linha:
Matriz final:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 35 & 45 & -45 0 & 1 & 0 & 0 & 15 & 25 0 & 0 & 1 & -45 & 25 & 35 ]

Resposta

A inversa da matriz dada é:
[ccc 35 & 45 & -45 0 & 15 & 25 -45 & 25 & 35 ]

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