Nos Exercícios 9-24, use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
[llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 1 & 3 & 5 & 0 1 & 3 & 5 & 7]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 1 & 3 & 5 & 0 1 & 3 & 5 & 7
usando o algoritmo de inversão. Como A é triangular inferior com todos os elementos da diagonal não nulos, ela é invertível e sua inversa A^-1 também será triangular inferior. Vamos encontrá-la resolvendo A,X = I por substituição direta (forward substitution), coluna a coluna.

Passo 2

Para a primeira coluna de
Escrevendo , as equações são:
Da primeira equação vem (x_1=1]. Substituindo nas seguintes:

Logo,

Passo 3

Para a segunda coluna de
com . As equações são:
Da primeira equação (x_1=0]. Em seguida:

Logo,

Passo 4

Para a terceira coluna de
obtemos com :
Daí , depois
Assim,

Passo 5

Para a quarta coluna de A^-1 tomamos e4=(0,0,0,1)^T. Resolvendo
A, x^(4) = e4,
com x^(4)=(x1,x2,x3,x4)^T, as primeiras três equações dão x1=x2=x3=0 e a última
7x4 = 1 implies x4 = tfrac17
Logo,
x^(4) = 000tfrac17

Resposta

A inversa é
A^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -tfrac13 & tfrac13 & 0 & 0 0 & -tfrac15 & tfrac15 & 0 0 & 0 & -tfrac17 & tfrac17

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