Nos Exercícios 29-32, escreva a matriz dada como um produto de matrizes elementares.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a matriz
A= 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1
como produto de matrizes elementares. Vamos usar o fato de que uma operação elementar de linhas em A corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar E; se aplicarmos uma sequência de operações que leva A à matriz identidade I, então
Ekcdots E2,E1,A = I
e daí
A = E1^-1E2^-1cdots Ek^-1
Passo 2
Vamos escolher operações que levem A a I:
R2 R2 - R1. Chama-se essa matriz de
E1= 1 & 0 & 0 -1& 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
pois E1A faz R2to R2-R1.
R2rightarrow R3. Matriz de permutação
E2= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
R1 R1 - R2.
E3= 1 & -1& 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
R1 R1 + R3.
E4= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
R2 R2 - R3.
E5= 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Verifica-se que
E5E4E3E2E1,A = I
Passo 3
Cada inversa Ei^-1 é também elementar, obtida invertendo a respectiva operação: