Nos Exercícios 29-32, escreva a matriz dada como um produto de matrizes elementares.
[lll1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A= 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1
como produto de matrizes elementares. Vamos usar o fato de que uma operação elementar de linhas em A corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar E; se aplicarmos uma sequência de operações que leva A à matriz identidade I, então
Ekcdots E2,E1,A = I
e daí
A = E1^-1E2^-1cdots Ek^-1

Passo 2

Vamos escolher operações que levem A a I:
  1. R2 R2 - R1. Chama-se essa matriz de
    E1= 1 & 0 & 0 -1& 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
    pois E1A faz R2to R2-R1.
  2. R2rightarrow R3. Matriz de permutação
    E2= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
  3. R1 R1 - R2.
    E3= 1 & -1& 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  4. R1 R1 + R3.
    E4= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  5. R2 R2 - R3.
    E5= 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Verifica-se que
E5E4E3E2E1,A = I

Passo 3

Cada inversa Ei^-1 é também elementar, obtida invertendo a respectiva operação:
  • E1^-1 faz R2 R2+R1: E1^-1= 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  • E2^-1=E2 porque trocar linhas é auto-inverso.
  • E3^-1 faz R1 R1+R2: E3^-1= 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  • E4^-1 faz R1 R1 - R3: E4^-1= 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  • E5^-1 faz R2 R2+R3: E5^-1= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Resposta

A ;=; E1^-1,E2^-1,E3^-1,E4^-1,E5^-1 ;=; 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

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