Nos Exercícios 25-28, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y- & 3 z=4
2 x-2 y+ 3 z=1
x+2 y-(a^2-3) z=a

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro
e pede para classificar, em função de (a], quando o sistema não tem solução, tem solução única ou infinitas soluções. Vamos usar eliminação de Gauss e o critério das posturas de posto da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações para chegar à forma escalonada:

Passo 3

A partir da forma escalonada, os pivôs na matriz de coeficientes são
1, -6, 6 - a^2
Se 6 - a^2 neq 0, os três pivôs são não nulos, logo o posto da matriz de coeficientes é 3 (igual ao número de incógnitas) e o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 4

Se 6 - a^2 = 0, isto é, a^2=6 ou a=pmraiz6, então o pivô da terceira linha some e o posto da matriz de coeficientes cai para 2. Nesse caso a terceira equação escalonada fica
0x + 0y + 0z = a - 4,
ou seja,
0 = a - 4
Para a=pmraiz6 temos a-4neq0, logo a linha escalonada é inconsistente e o posto da matriz aumentada torna-se 3. Assim, para a=pmraiz6 não há solução. Não há nenhum valor de a que faça simultaneamente 6-a^2=0 e a-4=0, de modo que não ocorre infinidade de soluções para nenhum a.

Resposta

Para a=pmraiz6 o sistema não tem solução.
Para aneqpmraiz6 o sistema tem exatamente uma solução.
Não há valor de a que produza infinitas soluções.

Exercícios relacionados