Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 são LD?
a) 2+x-x^2,-4-x+4 x^2, x+2 x^2
b) 1-x+2 x^2, x-x^2, x^2
c) 1+3 x+x^2, 2-x-x^2, 1+2 x-3 x^2,-2+x+3 x^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe! A questão pede para identificar quais conjuntos de vetores pertencentes a P2 (o espaço dos polinômios de grau no máximo 2) são Linearmente Dependentes (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser LD e usar um método sistemático para verificar isso, como montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios e analisar se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é Linearmente Dependente. Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos de polinômios, isso significa que existem constantes (não todas zero) que multiplicadas pelos polinômios do conjunto dão o polinômio zero.

Passo 3

Vamos analisar cada parte do exercício separadamente.
a) 2 + x - x^2, -4 - x + 4x^2, x + 2x^2
Aqui temos três polinômios. Para verificar se são LD, montamos uma matriz com os coeficientes:
2 & 1 & -1 -4 & -1 & 4 1 & 2 & 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são LD.
Calculando o determinante:
det = 2 cdot (-1 cdot 0 - 4 cdot 2) - 1 cdot (-4 cdot 0 - 4 cdot 1) + (-1) cdot (-4 cdot 2 - (-1) cdot 1) = 2 cdot (-8) - 1 cdot (-4) + (-1) cdot (-7) = -16 + 4 + 7 = -5
Como o determinante não é zero, os vetores são Linearmente Independentes (LI).

Passo 4

b) 1 - x + 2x^2, x - x^2, x^2
Novamente, montamos a matriz com os coeficientes:
1 & -1 & 2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Calculando o determinante:
det = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) - (-1) cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 2 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 0) = 1 cdot 1 - (-1) cdot 0 + 2 cdot 0 = 1
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são LI.

Passo 5

c) 1 + 3x + x^2, 2 - x - x^2, 1 + 2x - 3x^2, -2 + x + 3x^2
Aqui temos quatro polinômios em um espaço de dimensão 3 ( P2). Sabemos que em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD. Como temos 4 vetores em P2, que tem dimensão 3, o conjunto é LD.

Resposta

a) Linearmente Independentes
b) Linearmente Independentes
c) Linearmente Dependentes

Exercícios relacionados