Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Seja A uma matriz de ordem n, então det(A^n)=det^n(A), para qualquer n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmativa “ det(A^n) = det^n(A)” é verdadeira ou falsa para qualquer matriz quadrada A de ordem n e para qualquer número natural n. Para resolver isso, vamos precisamos entender o que é o determinante de uma matriz e como ele se comporta quando elevamos a matriz a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade fundamental dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Em fórmula, isso fica assim:
det(AB) = det(A) cdot det(B)
Isso vale para qualquer duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade para o caso de uma matriz elevada a uma potência inteira positiva. Se considerarmos A^n, isso significa que estamos multiplicando a matriz A por ela mesma n vezes:
A^n = A cdot A cdot A cdot ldots cdot A (n vezes)
Usando a propriedade dos determinantes que mencionamos, podemos escrever:
det(A^n) = det(A cdot A cdot ldots cdot A) = det(A) cdot det(A) cdot ldots cdot det(A) = (det(A))^n
Ou seja, o determinante de A^n é igual ao determinante de A elevado à n-ésima potência.

Resposta

A afirmativa é verdadeira. Para qualquer matriz quadrada A de ordem n e qualquer número natural n, temos que det(A^n) = det^n(A).

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