Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Seja
uma matriz de ordem
, então
, para qualquer
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmativa “
” é verdadeira ou falsa para qualquer matriz quadrada
de ordem
e para qualquer número natural
. Para resolver isso, vamos precisamos entender o que é o determinante de uma matriz e como ele se comporta quando elevamos a matriz a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma propriedade fundamental dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Em fórmula, isso fica assim:
Isso vale para qualquer duas matrizes quadradas
e
de mesma ordem.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa propriedade para o caso de uma matriz elevada a uma potência inteira positiva. Se considerarmos
, isso significa que estamos multiplicando a matriz
por ela mesma
vezes:
Usando a propriedade dos determinantes que mencionamos, podemos escrever:
Ou seja, o determinante de
é igual ao determinante de
elevado à
-ésima potência.
Resposta
A afirmativa é verdadeira. Para qualquer matriz quadrada
de ordem
e qualquer número natural
, temos que
.