Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo. é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de matrizes V definido por:
V = x & x+y y & x^2+y^2 , x, y in R
A pergunta é: esse conjunto V é um espaço vetorial? Para descobrir isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial? Basicamente, é um conjunto de “vetores” (que podem ser números, matrizes, funções, etc.) que podem ser somados entre si e multiplicados por números reais (escalares), respeitando certas regras, como associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Para verificar se V é um espaço vetorial, precisamos ver se ele satisfaz todas essas propriedades. Uma das propriedades fundamentais é que o conjunto deve ser fechado sob a adição e a multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos começar verificando se V é fechado sob a adição. Isso significa que, se pegarmos duas matrizes quaisquer de V e somarmos elas, o resultado também deve estar em V .
Mas já tínhamos x = 2 da primeira equação, então y = 0 . Verificando:
x^2 + y^2 = 2^2 + 0^2 = 4
Funciona, mas vamos tentar um caso onde não funciona. Escolha x1 = 1, y1 = 1 e x2 = 2, y2 = 2 .
Então:
A = 1 & 2 1 & 2 , B = 2 & 4 2 & 8
Somando A + B :
A + B = 3 & 6 3 & 10
Para estar em V :
x = 3, x + y = 6 Rightarrow y = 3, x^2 + y^2 = 9 + 9 = 18
Mas na matriz somada temos o elemento 10 na posição (2,2), que não corresponde a 18 . Isso mostra que a soma não está em V .
Resposta
Então, V não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob a adição. O contra-exemplo foi a soma das matrizes A e B que resultou em uma matriz fora de V .