Nos Exercícios de 25 a 28, use integrais duplas para encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas no plano xy. Faça um esboço da região.
y=x^3 e y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular a área da região limitada pelas curvas y = x^3 e y = x^2 usando integrais duplas. Primeiro, vamos entender sobre o que estamos falando: estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que servem para encontrar áreas ou volumes em duas dimensões. Precisamos identificar onde essas duas curvas se intersectam para determinar os limites da nossa região e, então, configurar a integral dupla para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Igualamos x^3 = x^2 :
x^3 = x^2
Subtraindo x^2 de ambos os lados:
x^3 - x^2 = 0
Fatorando:
x^2(x - 1) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 1 . Portanto, as curvas se cruzam nos pontos (0, 0) e (1, 1) .

Passo 3

Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar a região. A curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima, enquanto y = x^3 é uma curva cúbica que passa pela origem e fica abaixo da parábola entre x = 0 e x = 1 . Dessa forma, a região limitada por essas curvas está entre x = 0 e x = 1 , e entre as curvas y = x^3 e y = x^2 .

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla para calcular a área. Como estamos em duas dimensões e já identificamos os limites de x de 0 a 1, podemos expressar a integral em termos de y para cada x . A área A será:
A = integral0^1 integralx^3^x^2 dy , dx
Isso significa que para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de x^3 até x^2 .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y :
integralx^3^x^2 dy = y |x^3^x^2 = x^2 - x^3
Agora, substituímos essa resultado na integral externa:
A = integral0^1 (x^2 - x^3) , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral (x^2 - x^3) , dx = x^33 - x^44 + C
Avaliação dos limites de 0 a 1:
A = ( 1^33 - 1^44 ) - ( 0^33 - 0^44 ) = ( 13 - 14 ) - 0 = 13 - 14
Calculando:
13 - 14 = 412 - 312 = 112

Resposta

A área da região limitada pelas curvas y = x^3 e y = x^2 é 112 unidades de área.

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