Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
y d xd y+2 x=5 y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem em que y é variável independente e x dependente:
y,dxdy + 2x = 5y^3
O conteúdo principal aqui é a resolução de uma EDO linear na forma padrão
dxdy + P(y),x = Q(y).

Passo 2

Dividindo a equação toda por y (supondo yneq0), colocamos no formato padrão de EDO linear:
dxdy + 2y,x = 5y^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(y) dado por
mu(y) = exp!l(integral 2y,dyr) = expl(2ln|y|r) = y^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(y)=y^2:
y^2,dxdy + 2y,x = 5y^4cdot y^2 = 5y^4+2=5y^6
O lado esquerdo é a derivada do produto y^2x, ou seja,
ddyl(y^2xr) = 5y^6

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a y:
y^2x = integral 5y^6,dy = 5cdoty^77 + C = 57y^7 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos x:
x(y) = 1y^2l(57y^7 + Cr) = 57y^5 + C,y^-2

Resposta

A solução geral é
x(y) = 57,y^5 + C,y^-2,
com C constante arbitrária.

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