Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
x d yd x+3(y+x^2)=sin xx

Passo 1

A equação dada é uma ODE de primeira ordem linear.
Vamos colocar em forma padrão dividindo tudo por x (supondo xneq0), de modo a ter dydx+P(x)y=Q(x):

Passo 2

Identificamos P(x)=tfrac3x e Q(x)=tfracsin xx^2-3x. Para resolver, usamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^3ln|x|=x^3.

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^3; o lado esquerdo vira derivada de x^3y:
Agora integramos ambos os lados:

Passo 4

Por fim, isolamos y dividindo por x^3 e simplificamos.

Resposta

y(x)=-cos xx^2+sin xx^3-35x^2+Cx^3

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