Usando o método da integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:
integral 1x^2 raizx^2-25 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^2raizx^2-25,dx
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição adequada para radical do tipo raizx^2-a^2, que é x=asectheta.

Passo 2

Fazemos
x = 5sectheta, dx = 5secthetatantheta,dtheta, raizx^2-25 = raiz25sec^2theta - 25 = 5tantheta
Além disso,
x^2 = 25sec^2theta

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral 1x^2raizx^2-25,dx = integral 125sec^2theta cdot 5tantheta,l(5secthetatantheta,dthetar)
No numerador fica 5secthetatantheta e no denominador 125sec^2thetatantheta, logo
integral 5secthetatantheta125sec^2thetatantheta,dtheta = integral 5125,secthetatanthetasec^2thetatantheta,dtheta = integral 125,1sectheta,dtheta = integral costheta25,dtheta

Passo 4

Agora a integral em theta é simples:
integral costheta25,dtheta = 125integral costheta,dtheta = 125sintheta + C

Passo 5

Volta à variável x. Da substituição x=5sectheta temos sectheta = x/5, logo
sintheta = tanthetasectheta = raizsec^2theta - 1sectheta = raiz(x/5)^2-1x/5 = raizx^2-25/5x/5 = raizx^2-25x
Portanto
125sintheta = 125,raizx^2-25x

Resposta

integral 1x^2raizx^2-25,dx = raizx^2-2525,x + C

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