Nos Exercícios de 25 a 28, use integrais duplas para encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas no plano xy. Faça um esboço da região. e
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas e usando integrais duplas. A gente vai precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como elas ajudam a calcular áreas entre curvas. Ah, e também vamos desenhar um esboço da região pra visualizar melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam. A curva é uma parábola que se abre para a direita, enquanto é uma parábola que se abre para cima. Vamos encontrar os pontos onde elas se intersectam para saber os limites da nossa região.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos o sistema de equações:
Vamos expressar da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):
Agora, substituindo na primeira equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .
Passo 4
Agora, vamos esboçar a região limitada pelas curvas. A parábola passa pelo ponto e , enquanto também passa por esses pontos. A região está entre e , e entre as duas curvas.
Passo 5
Para calcular a área usando integrais duplas, precisamos definir os limites de integração. Observando as curvas, para cada entre 0 e 4, varia da curva até . Resolvendo para :