Nos Exercícios de 25 a 28, use integrais duplas para encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas no plano xy. Faça um esboço da região.
y^2=4 x e x^2=4 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas y^2 = 4x e x^2 = 4y usando integrais duplas. A gente vai precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como elas ajudam a calcular áreas entre curvas. Ah, e também vamos desenhar um esboço da região pra visualizar melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam. A curva y^2 = 4x é uma parábola que se abre para a direita, enquanto x^2 = 4y é uma parábola que se abre para cima. Vamos encontrar os pontos onde elas se intersectam para saber os limites da nossa região.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos o sistema de equações:
y^2 = 4x e x^2 = 4y
Vamos expressar x da primeira equação:
x = y^24
Substituindo na segunda equação:
( y^24 )^2 = 4y Rightarrow y^416 = 4y Rightarrow y^4 = 64y
Dividindo ambos os lados por y (considerando y neq 0 ):
y^3 = 64 Rightarrow y = 4
Agora, substituindo y = 4 na primeira equação:
x = 4^24 = 4
Então, as curvas se intersectam nos pontos (0,0) e (4,4) .

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região limitada pelas curvas. A parábola y^2 = 4x passa pelo ponto (0,0) e (4,4) , enquanto x^2 = 4y também passa por esses pontos. A região está entre x = 0 e x = 4 , e entre as duas curvas.

Passo 5

Para calcular a área usando integrais duplas, precisamos definir os limites de integração. Observando as curvas, para cada y entre 0 e 4, x varia da curva y^2 = 4x até x = 4 . Resolvendo y^2 = 4x para x :
x = y^24
Então, a área A é dada por:
A = integral0^4 integraly^24^4 dx , dy
Integrando em relação a x :
A = integral0^4 [ x ]y^24^4 dy = integral0^4 (4 - y^24) dy
Agora, vamos integrar em relação a y :
A = integral0^4 4 , dy - integral0^4 y^24 , dy = 4y |0^4 - 14 cdot y^33 |0^4
Calculando:
A = 4(4) - 14 cdot 643 = 16 - 163 = 483 - 163 = 323

Resposta

A área da região limitada pelas curvas y^2 = 4x e x^2 = 4y é 323 unidades de área.

Exercícios relacionados