Use a Regra da Cadeia para achar \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}, sendo:
z=x^{2} y^{3}, \quad x= scost, \quad y= ssent .

Passo 1

O enunciado dá a função z em termos de x e y e diz que x e y dependem de s e t. Especificamente:
  • Dado: z = x^{2} y^{3}.
  • Dado: x = s\cos t. (Interpretei o enunciado “scost” como s\cos t.)
  • Dado: y = s\sin t. (Interpretei “ssent” como s\sin t.)
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial s}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial t}.

Passo 2

Vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A ideia é: z depende de x e y, e x e y dependem de s e t. Então, ao variar s (mantendo t fixo), a variação de z vem das variações de x e de y. A fórmula é:
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} \;+\; \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} \;+\; \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicação dos termos:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z tratando y como constante (ou seja, quanto z muda se só x mudar).
  • \dfrac{\partial x}{\partial s} é quanto x muda quando s muda (com t fixo).
  • As outras parcelas são análogas.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} a partir de z = x^{2} y^{3}.
  • Diferenciando em relação a x (tratando y como constante), usamos a regra da potência: se x^2 então a derivada é 2x. Assim,
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,y^{3}.
  • Diferenciando em relação a y (tratando x como constante), usamos a regra da potência em y^{3}: a derivada é 3y^{2}. Assim,
\frac{\partial z}{\partial y} = 3x^{2}\,y^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s e t, usando que x = s\cos t e y = s\sin t.
  • Para \dfrac{\partial x}{\partial s}: aqui t é tratado como constante, então \cos t é constante e
\frac{\partial x}{\partial s} = \cos t.
  • Para \dfrac{\partial x}{\partial t}: s é tratado como constante e derivamos \cos t, obtendo -\sin t. Pela regra do produto,
\frac{\partial x}{\partial t} = s\cdot(-\sin t) = -s\sin t.
  • Para \dfrac{\partial y}{\partial s}: com t fixo,
\frac{\partial y}{\partial s} = \sin t.
  • Para \dfrac{\partial y}{\partial t}: com s constante e derivando \sin t,
\frac{\partial y}{\partial t} = s\cos t.

Passo 5

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial s}. Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}, \dfrac{\partial x}{\partial s} e \dfrac{\partial y}{\partial s} na fórmula do Passo 2, obtemos:
\frac{\partial z}{\partial s} = \big(2x\,y^{3}\big)\cdot(\cos t) \;+\; \big(3x^{2}\,y^{2}\big)\cdot(\sin t).
Isso já é uma forma correta da derivada em termos de x, y e t. Se quisermos expressar totalmente em s e t, substituímos x = s\cos t e y = s\sin t:
\frac{\partial z}{\partial s} = 2\big(s\cos t\big)\big(s\sin t\big)^{3}\cos t \;+\; 3\big(s\cos t\big)^{2}\big(s\sin t\big)^{2}\sin t.

Passo 6

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial t}. Substituindo os termos do Passo 3 e Passo 4 na fórmula do Passo 2, obtemos:
\frac{\partial z}{\partial t} = \big(2x\,y^{3}\big)\cdot(-s\sin t) \;+\; \big(3x^{2}\,y^{2}\big)\cdot(s\cos t).
Essa é a forma em termos de x, y, s e t. Substituindo x = s\cos t e y = s\sin t para ficar totalmente em s e t, temos:
\frac{\partial z}{\partial t} = -2s\big(s\cos t\big)\big(s\sin t\big)^{3}\sin t \;+\; 3s\big(s\cos t\big)^{2}\big(s\sin t\big)^{2}\cos t.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial s}=5\,s^{4}\cos^{2}t\sin^{3}t
\dfrac{\partial z}{\partial t}=s^{5}\cos t\sin^{2}t\big(3\cos^{2}t-2\sin^{2}t\big)

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