Use a Regra da Cadeia para achar
e
, sendo:
scost,
ssent .
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de
e
e diz que
e
dependem de
e
. Especificamente:
- Dado:
. - Dado:
. (Interpretei o enunciado “scost” como .) - Dado:
. (Interpretei “ssent” como .)
O que se pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A ideia é:
depende de
e
, e
e
dependem de
e
. Então, ao variar
(mantendo
fixo), a variação de
vem das variações de
e de
. A fórmula é:
Explicação dos termos:
-
é a derivada parcial de tratando como constante (ou seja, quanto muda se só mudar). -
é quanto muda quando muda (com fixo). - As outras parcelas são análogas.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
- Diferenciando em relação a
(tratando como constante), usamos a regra da potência: se então a derivada é . Assim,
- Diferenciando em relação a
(tratando como constante), usamos a regra da potência em : a derivada é . Assim,
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, usando que
e
.
- Para
: aqui é tratado como constante, então é constante e
- Para
: é tratado como constante e derivamos , obtendo . Pela regra do produto,
- Para
: com fixo,
- Para
: com constante e derivando ,
Passo 5
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para
. Substituindo
,
,
e
na fórmula do Passo 2, obtemos:
Isso já é uma forma correta da derivada em termos de
,
e
. Se quisermos expressar totalmente em
e
, substituímos
e
:
Passo 6
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para
. Substituindo os termos do Passo 3 e Passo 4 na fórmula do Passo 2, obtemos:
Essa é a forma em termos de
,
,
e
. Substituindo
e
para ficar totalmente em
e
, temos: