Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty n!(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftyn!(2n)!
é convergente ou divergente. Como temos fatoriais, o teste da razão é uma boa ferramenta: se
L=limntoinftyl|an+1/anr|<1, a série converge; se >1, diverge; se =1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definindo
an = n!(2n)!,
calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)!(2n+2)!n!(2n)! = (n+1)!,(2n)!n!,(2n+2)! = n+1(2n+2)(2n+1) = 12(2n+1)

Passo 3

Agora tomamos o limite:
L = limntoinftyan+1an = limntoinfty12(2n+1) = 0
Como L<1, o teste da razão assegura que a série converge absolutamente, logo ela converge.

Resposta

A série é convergente.

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