Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 1(n+2)^32

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
sumn=1^infty 1(n+2)^3/2.
Estamos em Séries Numéricas e o que vamos precisar é: definir uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com o termo geral da série e avaliar a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Definimos
f(x) = 1(x+2)^3/2, x>=1
Observamos que para x>=1 o denominador (x+2)^3/2 cresce, logo f(x)>0, f é contínua e f'(x)<0, ou seja, é decrescente. Assim, valem as hipóteses do teste da integral.

Passo 3

Aplicamos o teste, avaliando a integral imprópria
integral1^infty 1(x+2)^3/2,dx
Fazendo a substituição u=x+2, du=dx, os limites vão de u(1)=3 até utoinfty. Assim,
integral1^infty dx(x+2)^3/2 =integral3^infty u^-3/2,du =l[-2,u^-1/2r]3^infty =0 -l(-2cdot3^-1/2r) =2raiz3
O valor da integral é finito.

Passo 4

Como integral1^inftyf(x),dx converge (é igual a 2/raiz3), o teste da integral garante que a série
sumn=1^infty1(n+2)^3/2
também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados