Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
.
Estamos em Séries Numéricas e o que vamos precisar é: definir uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com o termo geral da série e avaliar a integral imprópria correspondente.
Estamos em Séries Numéricas e o que vamos precisar é: definir uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com o termo geral da série e avaliar a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Definimos
Observamos que para
o denominador
cresce, logo
,
é contínua e
, ou seja, é decrescente. Assim, valem as hipóteses do teste da integral.
Passo 3
Aplicamos o teste, avaliando a integral imprópria
Fazendo a substituição
,
, os limites vão de
até
. Assim,
O valor da integral é finito.
Passo 4
Como
converge (é igual a
), o teste da integral garante que a série
também converge.
também converge.
Resposta
A série converge.