Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty |cosec n|n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty |csc n|n
O conteúdo aqui é séries de termos positivos e, em particular, usaremos o teste da convergência que diz que, se a série converge, seu termo geral deve tender a zero.

Passo 2

Para que uma série de termos an>=0 seja convergente, é necessário que
limntoinftyan = 0
No nosso caso
an = |csc n|n = 1n,|sin n|
Se mostrarmos que limsupntoinftyan>0, então limntoinftyanneq0 e a série não pode convergir.

Passo 3

Como pi é irracional, pelo Teorema de Dirichlet existem infinitas frações tfracpkqk com
l|pi - tfracpkqkr| < tfrac1qk^2
Defina nk = pk. Então
|nk - qkpi| = l|pk - qkpir| < 1qk
Observando que
sin nk = sinl(qkpi + (nk - qkpi)r) = (-1)^qk,sinl(nk - qkpir),
segue
|sin nk| = l|sin(nk - qkpi)r|<= |nk - qkpi| < 1qk

Passo 4

Para esses índices nk temos
ank = 1nk,|sin nk| > 1nk,(1/qk) = qknk
Mas tfracnkqk= tfracpkqktopi, logo para k grande existe constante C>0 (por exemplo C=tfrac12pi) tal que
qknk > C>0
Assim ank>C para infinitos k.

Passo 5

Encontramos uma subsequência ank que não tende a zero. Logo
limntoinftyan neq 0,
e, pelo teste da divergência (teste do termo geral), a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty |csc n|n é divergente.

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