Nos Exercícios de 1 a 26, determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo aqui é séries de termos positivos e, em particular, usaremos o teste da convergência que diz que, se a série converge, seu termo geral deve tender a zero.
Passo 2
Para que uma série de termos seja convergente, é necessário que
No nosso caso
Se mostrarmos que , então e a série não pode convergir.
Passo 3
Como é irracional, pelo Teorema de Dirichlet existem infinitas frações com
Defina nk = pk. Então
|nk - qkpi| = l|pk - qkpir| < 1qk
Observando que
sin nk = sinl(qkpi + (nk - qkpi)r) = (-1)^qk,sinl(nk - qkpir),
segue
|sin nk| = l|sin(nk - qkpi)r|<= |nk - qkpi| < 1qk
Passo 4
Para esses índices nk temos
ank = 1nk,|sin nk| > 1nk,(1/qk) = qknk
Mas tfracnkqk= tfracpkqktopi, logo para k grande existe constante C>0 (por exemplo C=tfrac12pi) tal que
qknk > C>0
Assim ank>C para infinitos k.
Passo 5
Encontramos uma subsequência ank que não tende a zero. Logo
limntoinftyan neq 0,
e, pelo teste da divergência (teste do termo geral), a série não converge.