Universidade Estadual de Maringá- UEM <br> Curso: Engenharia Química <br> Avaliação 3 de Cálculo Diferencial e Integral III <br> Professor: Juan Soriano Palomino Nome do aluno (a):
3 Questão (2,5 pontos) Resolver o problema misto
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício trata de resolver uma equação diferencial parcial, especificamente a equação da onda. A gente vai precisar entender como resolver problemas com condições iniciais e de contorno utilizando métodos como separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro.
Passo 2
Primeiro, a equação que temos é:
partial^2 upartial t^2 = a partial^2 upartial x^2,
onde 0 < x < pi e t > 0. Esta é a equação da onda, que descreve como uma onda se propaga ao longo de uma corda, por exemplo.
Passo 3
As condições de contorno dadas são:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0 para todo t >= 0
Isso significa que as extremidades da corda estão fixas.
Passo 4
As condições iniciais são:
u(x, 0) = f(x) e partial upartial t(x, 0) = g(x)
Ou seja, conhecemos a posição inicial da corda f(x) e sua velocidade inicial g(x) em t = 0.
Passo 5
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções, uma que depende só de x e outra que depende só de t:
u(x, t) = X(x)T(t)
Passo 6
Substituindo u(x, t) = X(x)T(t) na equação da onda:
X(x) d^2Tdt^2 = a T(t) d^2Xdx^2
Dividindo ambos os lados por aX(x)T(t):
1a T(t) d^2Tdt^2 = 1X(x) d^2Xdx^2 = -lambda,
onde lambda é uma constante de separação.
Passo 7
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para X(x):
d^2Xdx^2 + lambda X = 0,
com as condições de contorno X(0) = 0 e X(pi) = 0.
Para T(t):
d^2Tdt^2 + a lambda T = 0
Passo 8
Resolvendo a equação para X(x), obtém-se que os valores de lambda que satisfazem as condições de contorno são:
lambdan = ( npi )^2, para n = 1, 2, 3, dots
E as soluções correspondentes são:
Xn(x) = sin( n xpi )
Passo 9
Agora, resolvendo a equação para T(t), temos:
d^2Tndt^2 + a lambdan Tn = 0
A solução geral é:
Tn(t) = An cos( raiza lambdan , t ) + Bn sin( raiza lambdan , t )
Substituindo lambdan:
Tn(t) = An cos( n raizapi t ) + Bn sin( n raizapi t )
Passo 10
Juntando Xn(x) e Tn(t), a solução geral é uma soma sobre todos os modos n:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos( n raizapi t ) + Bn sin( n raizapi t ) ] sin( n xpi )
Passo 11
Para determinar os coeficientes An e Bn, usamos as condições iniciais u(x, 0) = f(x) e partial upartial t(x, 0) = g(x).
Substituindo t = 0 na solução geral:
u(x, 0) = sumn=1^infty An sin( n xpi ) = f(x)
Isso indica que An são os coeficientes da série de Fourier de f(x).
Derivando u(x, t) em relação a t e substituindo t = 0:
partial upartial t(x, 0) = sumn=1^infty Bn n raizapi sin( n xpi ) = g(x)
Portanto, Bn são os coeficientes obtidos a partir da série de Fourier de g(x).
Passo 12
Finalizando, a solução do problema misto é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos( n raizapi t ) + Bn sin( n raizapi t ) ] sin( n xpi ),
onde os coeficientes An e Bn são determinados pelas séries de Fourier das funções iniciais f(x) e g(x), respectivamente.
Resposta
A solução do problema misto é:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos( n raizapi t ) + Bn sin( n raizapi t ) ] sin( n xpi ),
onde os coeficientes An e Bn são determinados pelas séries de Fourier das condições iniciais f(x) e g(x), respectivamente.