Nos exercícios 27-34, esboce uma superfície de nível típica para a função.
f(x, y, z)=x^2-z^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar superfícies de nível da função
f(x,y,z)=x^2-y^2-z^2
ou seja, resolver
x^2-y^2-z^2=c
para valores típicos de c. O conteúdo aqui é classificação de quádricas em R^3.

Passo 2

Escrevendo a equação geral da superfície de nível
x^2-y^2-z^2=c,
vemos que é uma quádricas com sinais mistos. A forma e o número de “folhas” da superfície dependem do sinal de c.

Passo 3

Caso c=0:
x^2-y^2-z^2=0
pode ser reescrita como
x^2=y^2+z^2,
que define um cone duplo (duas “folhas” unidas no vértice 0), com eixo ao longo do eixo x.

Passo 4

Caso c>0:
x^2-y^2-z^2=c>0
ou
x^2c-y^2c-z^2c=1
Aqui só há um coeficiente positivo ( x^2) e dois negativos ( y^2,z^2), gerando um hiperbolóide de duas folhas, simétrico em torno do eixo x, com “folhas” para x>=raizc e x<=-raizc.

Passo 5

Caso c<0:
x^2-y^2-z^2=c<0
pode ser reescrito como
y^2|c|+z^2|c|-x^2|c|=1
Agora há dois coeficientes positivos ( y^2,z^2) e um negativo ( x^2), caracterizando um hiperbolóide de uma folha, com eixo de simetria também ao longo do eixo x.

Resposta

As superfícies de nível típicas de f(x,y,z)=x^2-y^2-z^2 são:
– Para c>0: hiperbolóide de duas folhas ao longo de x.
– Para c=0: cone duplo com vértice na origem e eixo em x.
– Para c<0: hiperbolóide de uma folha ao longo de x.

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