Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
d yd x-y-e^3 x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx-y-e^3x=0,
ou seja,
dydx-y = e^3x
O conteúdo aqui é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
dydx+p(x),y = g(x),
onde p(x)=-1 e g(x)=e^3x.
O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral (-1),dx = e^-x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x. Obtemos
e^-xdydx - e^-xy = e^-xe^3x = e^2x
O lado esquerdo é exatamente
ddxl(y,e^-xr)

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral ddxl(y,e^-xr),dx = integral e^2x,dx
que resulta em
y,e^-x = 12e^2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^x:
y = e^xl(tfrac12e^2x + Cr) = tfrac12e^3x + C,e^x

Resposta

boxedy(x) = C,e^x + tfrac12,e^3x, CinR

Exercícios relacionados