Nos exercícios de 27 a 35, encontre F(s) ou f(s) como indicado.
\&{L}\left\{e^{-t} \operatorname{sen}^{2} t\right\}

Passo 1

O enunciado pede o transformada de Laplace \mathcal{L}\{e^{-t}\sin^2 t\}. Para resolver vamos usar a definição de transformada de Laplace e a identidade trigonométrica \sin^2 t = \tfrac{1-\cos 2t}{2}.

Passo 2

Escrevemos
F(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\sin^2 t\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{-t}\sin^2 t\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\sin^2 t\,dt
e aplicamos \sin^2 t=\tfrac{1-\cos2t}{2}, obtendo
F(s) =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\,dt -\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\cos2t\,dt.

Passo 3

Reconhecemos as fórmulas
\int_{0}^{\infty}e^{-at}\,dt=\frac{1}{a}, \qquad \int_{0}^{\infty}e^{-at}\cos(bt)\,dt=\frac{a}{a^2+b^2},
válidas para \mathrm{Re}(a)>0. Aqui a=s+1 e b=2, logo
\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\,dt=\frac{1}{s+1}, \qquad \int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\cos2t\,dt=\frac{s+1}{(s+1)^2+4}.

Passo 4

Substituindo em F(s) e colocando sobre denominador comum:
F(s) =\frac{1}{2(s+1)} -\frac{s+1}{2\bigl((s+1)^2+4\bigr)} =\frac{(s+1)^2+4-(s+1)^2}{2(s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr)} =\frac{4}{2(s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr)} =\frac{2}{(s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr)}.

Resposta

F(s)=\frac{2}{(s+1)\bigl((s+1)^2+4\bigr)}.

Exercícios relacionados