Nos exercícios de 27 a 35, encontre F(s) ou f(s) como indicado.
\&{L}^{-1}\left\{\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr\}(t).
Esse é um problema de transformada inversa envolvendo expressões da forma (s^{2}+a^{2})^{-2}. Vamos usar a propriedade de transformada de funções que envolvem fator t.

Passo 2

Lembramos que, para a>0, vale a fórmula
\mathcal{L}\{t\sin(at)\}(s) = \int_{0}^{\infty}t\sin(at)\,e^{-st}\,dt = \frac{2a\,s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Isso mostra que t\sin(at) gera um fator s/(s^{2}+a^{2})^{2} multiplicado por 2a.

Passo 3

No nosso caso, a=1. Então
\mathcal{L}\{t\sin t\}(s) = \frac{2\cdot1\cdot s}{(s^{2}+1)^{2}} = \frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Para obter apenas \dfrac{s}{(s^{2}+1)^{2}}, basta multiplicar por 1/2. Ou seja,
\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}} = \frac12\,\mathcal{L}\{t\sin t\}(s).
Logo, a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr\}(t) = \frac12\,t\sin t.

Resposta

\displaystyle \frac12\,t\sin t

Exercícios relacionados