Nos exercícios 37-44, determine a derivada em cada ponto crítico e determine os extremos locais.
y= \begin{cases}-x^{2}-2 x+4, & x \leq 1 \\\\ -x^{2}+6 x-4, & x>1\end{cases}

Passo 1

Temos a função por partes
y(x)= \begin{cases} -x^{2}-2x+4,&x\le1,\\\\ -x^{2}+6x-4,&x>1, \end{cases}
e o objetivo é (i) encontrar a derivada em cada ramo, (ii) achar os pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existe) e (iii) determinar que tipo de extremo local ocorre em cada um.

Passo 2

Derivamos cada ramo separadamente:
Para x\le1
y_{1}(x)=-x^{2}-2x+4 \quad\Longrightarrow\quad y_{1}'(x)=-2x-2.
Para x>1
y_{2}(x)=-x^{2}+6x-4 \quad\Longrightarrow\quad y_{2}'(x)=-2x+6.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de y'=0 em cada ramo e do ponto de junção x=1:
1. Em x\le1:
-2x-2=0\;\Longrightarrow\;x=-1\quad(\text{válido, pois }-1\le1).á
2. Em x>1:
-2x+6=0\;\Longrightarrow\;x=3\quad(\text{válido, pois }3>1).á
3. No ponto de quebra x=1, a derivada lateral esquerda é
y_{1}'(1)=-2\cdot1-2=-4,
e a lateral direita é
y_{2}'(1)=-2\cdot1+6=4,
logo y' não existe em x=1, que também é ponto crítico.

Passo 4

Analisamos o sinal de y' em cada região para classificar os extremos:
a) Em x=-1:
  • Para x<-1, y_{1}'(x)=-2x-2>0 (cresce).
  • Para -1<x<1, y_{1}'(x)<0 (decresce).
    Muda de crescente para decrescente \Rightarrow máximo local em x=-1.
y(-1)= -(-1)^{2}-2(-1)+4=5.
b) Em x=1:
  • Para x<1, y_{1}'(1)=-4<0 (decresce).
  • Para x>1, y_{2}'(1)=4>0 (cresce).
    Muda de decrescente para crescente \Rightarrow mínimo local em x=1.
y(1)= -1-2+4=1\quad(\text{ou }-1+6-4=1).
c) Em x=3:
  • Para 1<x<3, y_{2}'(x)=-2x+6>0 (cresce).
  • Para x>3, y_{2}'(x)<0 (decresce).
    Muda de crescente para decrescente \Rightarrow máximo local em x=3.
y(3)=-9+18-4=5.

Resposta

x =- 1: y'(-1)=0; máximo local em (-1,5).
x =1: y_{1}'(1)=-4, y_{2}'(1)=4 (derivada indefinida); mínimo local em (1,1).
x =3: y'(3)=0; máximo local em (3,5).

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