Nos exercícios 8 a 27, calcular as derivadas parciais de 1^2 ordem.
z=(x+y) e^x+2 y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
z = (x+y)e^x+2y
O que vamos usar: a regra do produto (derivada de ucdot v) e a regra da cadeia para a exponencial.

Passo 2

Para partial zpartial x tratamos y como constante. Seja
u = x+y, v = e^x+2y
Pela regra do produto,
partial zpartial x = partial upartial x,v + u,partial vpartial x = 1cdot e^x+2y + (x+y),e^x+2ycdotpartialpartial x(x+2y)
Como partialpartial x(x+2y)=1, segue
partial zpartial x = e^x+2y + (x+y)e^x+2y = (x+y+1),e^x+2y

Passo 3

Para partial zpartial y tratamos x como constante. Ainda
u = x+y, v = e^x+2y,
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partial zpartial y = partial upartial y,v + u,partial vpartial y = 1cdot e^x+2y + (x+y),e^x+2ycdotpartialpartial y(x+2y)
Como partialpartial y(x+2y)=2, obtemos
partial zpartial y = e^x+2y + 2(x+y)e^x+2y = (2x+2y+1),e^x+2y

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem:
  1. partial^2 zpartial x^2: derive partial zpartial x=(x+y+1)e^x+2y em relação a x:
partial^2 zpartial x^2 = 1cdot e^x+2y + (x+y+1)e^x+2ycdot1 = (x+y+2),e^x+2y
  1. partial^2 zpartial y^2: derive partial zpartial y=(2x+2y+1)e^x+2y em relação a y:
partial^2 zpartial y^2 = 2,e^x+2y + (2x+2y+1)e^x+2ycdot2 = (4x+4y+4),e^x+2y = 4(x+y+1),e^x+2y
  1. partial^2 zpartial xpartial y (mista): derive partial zpartial x=(x+y+1)e^x+2y em relação a y:
partial^2 zpartial ypartial x = 1cdot e^x+2y + (x+y+1)e^x+2ycdot2 = (2x+2y+3),e^x+2y
Como z é C^2, vale também
partial^2 zpartial xpartial y=partial^2 zpartial ypartial x

Resposta

partial zpartial x=(x+y+1),e^x+2y, partial zpartial y=(2x+2y+1),e^x+2y,
partial^2 zpartial x^2=(x+y+2),e^x+2y, partial^2 zpartial xpartial y=(2x+2y+3),e^x+2y, partial^2 zpartial y^2=4(x+y+1),e^x+2y

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