Nos Exercícios de 1 a 28, ache d yd x por derivação implícita.
cotg x y+x y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita cot(xy)+xy=0 e pede dydx. Aqui vamos usar derivação implícita, a regra da cadeia para cot(u) e a regra do produto para xy.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados em relação a x:
ddxl[cot(xy)r]+ddx[xy]=0
Para ddx[cot(xy)] aplicamos a regra da cadeia:
ddx[cot(xy)] = -csc^2(xy)cdot ddx(xy)
e para ddx(xy) usamos a regra do produto:
ddx(xy)=y + x,y'

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação original, temos:
-csc^2(xy)l(y + x,y'r) +l(y + x,y'r)=0
Agora podemos fatorar (y + x,y'):
(y + x,y')l[1-csc^2(xy)r]=0

Passo 4

Desconsiderando os casos degenerados em que 1-csc^2(xy)=0, a outra possibilidade é
y + x,y'=0
e daí isolamos y':
y'=-yx

Resposta

-yx

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