Nos exercícios de 29 a 32, construa a distribuição de frequência e o histograma de frequência para o conjunto de dados usando o número de classes indicado. Descreva quaisquer padrões.
Tempo para fraturar
Número de classes: 5
Conjunto de dados: pressão necessária (em libras por polegada quadrada) para determinar tempo para fratura em 25 amostras de argamassa:
2.750 & 2.862 & 2.885 & 2.490 & 2.512 & 2.456 & 2.554 & 2.532 & 2.885 & 2.872 & 2.601 & 2.877 & 2.721 \
2.692 & 2.888 & 2.755 & 2.853 & 2.517 & 2.867 & 2.718 & 2.641 & 2.834 & 2.466 & 2.596 & 2.519

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos deu.\n
  • Pedido: construir a distribuição de frequência e o histograma para o conjunto de dados usando 5 classes e descrever quaisquer padrões observados.\n
  • Dados (pressiones em libras por polegada quadrada; peguei todos estes valores do enunciado):\n
    2,750,\\\ 2,862,\\\ 2,885,\\\ 2,490,\\\ 2,512,\\\ 2,456,\\\ 2,554,\\\ 2,532,\\\ 2,885,\\\ 2,872,\\\ 2,601,\\\ 2,877,\\\ 2,721,\\\ 2,692,\\\ 2,888,\\\ 2,755,\\\ 2,853,\\\ 2,517,\\\ 2,867,\\\ 2,718,\\\ 2,641,\\\ 2,834,\\\ 2,466,\\\ 2,596,\\\ 2,519.\n
  • Número de observações: n=25.\n
  • Número de classes pedido: k=5.\n
    No próximo passo eu calculo o intervalo, escolho a largura de classe, monto as classes e conto quantas observações caem em cada classe.

Passo 2

Encontrar mínimo, máximo e amplitude (range).\n
  • Mínimo: \min = 2,456 (peguei este valor do conjunto de dados).\n
  • Máximo: \max = 2,888 (peguei este valor do conjunto de dados).\n
  • Amplitude (range): \text{range}=\max-\min=2,888-2,456=0,432.

Passo 3

Calcular a largura de classe teórica e decidir arredondamento.\n
Usa-se a fórmula (largura teórica): h=\frac{\text{range}}{k}=\frac{0,432}{5}=0,0864.
É comum arredondar h para um valor conveniente que cubra todos os dados sem deixar buracos. Vou arredondar para h=0,09 (maior que 0,0864) para obter limites fáceis de ler e garantir que o último limite inclua o valor máximo.

Passo 4

Escolher o limite inferior da primeira classe e construir as classes.\n
  • Começo a primeira classe em \min=2,456. Com h=0,09 as classes (usando convenção [\,\text{limite inferior},\\ \text{limite superior}\!), isto é, incluímos o limite inferior e excluímos o superior) são:\n
  1. [2,456,\\\ 2,546)\n
  2. [2,546,\\\ 2,636)\n
  3. [2,636,\\\ 2,726)\n
  4. [2,726,\\\ 2,816)\n
  5. [2,816,\\\ 2,906)\n
    Observação: a última classe termina em 2,906, que é maior que \max=2,888, então todos os dados estão cobertos.\n
    Agora conto quantas observações caem em cada classe (faço a contagem olhando os dados ordenados):\n
  • Classe 1 [2,456,2,546): 2,456,\\\ 2,466,\\\ 2,490,\\\ 2,512,\\\ 2,517,\\\ 2,519,\\\ 2,532 f_1=7.\n
  • Classe 2 [2,546,2,636): 2,554,\\\ 2,596,\\\ 2,601 f_2=3.\n
  • Classe 3 [2,636,2,726): 2,641,\\\ 2,692,\\\ 2,718,\\\ 2,721 f_3=4.\n
  • Classe 4 [2,726,2,816): 2,750,\\\ 2,755 f_4=2.\n
  • Classe 5 [2,816,2,906): 2,834,\\\ 2,853,\\\ 2,862,\\\ 2,867,\\\ 2,872,\\\ 2,877,\\\ 2,885,\\\ 2,885,\\\ 2,888 f_5=9.\n
    Verificação: f_1+f_2+f_3+f_4+f_5=7+3+4+2+9=25=n, ok.\n
    Calcular frequências relativas (percentuais) e cumulativas:\n
  • Frequências relativas: \text{f\%}_i=\frac{f_i}{n}\times100\%.
Então:\n
\text{f\%}_1=\dfrac{7}{25}=28\%,\quad \text{f\%}_2=\dfrac{3}{25}=12\%,\quad \text{f\%}_3=\dfrac{4}{25}=16\%,\quad \text{f\%}_4=\dfrac{2}{25}=8\%,\quad \text{f\%}_5=\dfrac{9}{25}=36\%.\n
  • Frequência acumulada F_i: F_1=7,\\ F_2=10,\\ F_3=14,\\ F_4=16,\\ F_5=25.\n
    Também calculo a marca de classe (ponto médio) de cada classe (útil para histogramas e estimativas):\n
  • Marca de classe m_i=\dfrac{\text{li}+\text{ls}}{2} onde \text{li} e \text{ls} são limites inferior e superior.\n
    Marcas:\n
    m_1=\dfrac{2,456+2,546}{2}=2,501;\quad m_2=\dfrac{2,546+2,636}{2}=2,591;\quad m_3=2,681;\quad m_4=2,771;\quad m_5=2,861.

Passo 5

Como montar o histograma e representação textual.\n
  • O histograma tem cinco barras, uma para cada classe; a altura de cada barra é a frequência absoluta f_i (ou pode ser frequência relativa). Aqui uso f_i.\n
  • Barras (representação textual, cada bloco representa 1 observação):\n
    [2,456,2,546): ███████ (f_1=7)\n
    [2,546,2,636): ███ (f_2=3)\n
    [2,636,2,726): ████ (f_3=4)\n
    [2,726,2,816): ██ (f_4=2)\n
    [2,816,2,906): █████████ (f_5=9)\n
    (Em prova, desenhe retângulos com essas alturas e larguras proporcionais às classes escolhidas; eixo horizontal = pressão, eixo vertical = frequência.)\n

Passo 6

Medidas de tendência central rápidas para interpretar a forma (ajuda a descrever padrões).\n
  • Mediana: com n=25 a mediana é o 13^\text{o} valor ordenado; do conjunto ordenado o 13^\text{o} valor é 2,718. Então \text{mediana}=2,718.\n
  • Média: somando todas as observações dá total 67,343 (soma dos 25 valores; somei os valores do enunciado), portanto a média é \bar{x}=\frac{67,343}{25}=2,69372\approx2,694.\n
Comparando média e mediana: \bar{x}\approx2,694 < \text{mediana}=2,718, o que indica leve assimetria negativa (distribuição deslocada para valores maiores com uma cauda à esquerda).

Passo 7

Interpretação final e padrões observados (didático e amigável).\n
  • Concentração: a maior parte das observações está na classe mais alta [2,816,2,906) com f_5=9 ( 36\% das amostras). Ou seja, muitos tempos para fratura requerem pressões próximas de 2,83 2,89.\n
  • Forma / assimetria: há uma leve assimetria negativa (ou “left skew”): alguns valores menores (em torno de 2,45 2,55) puxam a média para baixo; a mediana é maior que a média. Visualmente o histograma mostra maior concentração à direita e uma pequena cauda à esquerda.\n
  • Moda: a classe modal é a última ( [2,816,2,906)) e o valor mais frequente individualmente é 2,885 (aparece duas vezes), mas o agrupamento por classe destaca a cauda esquerda e o pico à direita.\n
  • Dispersão: a amplitude total é pequena ( 0,432), então os dados estão relativamente concentrados (pouca variação absoluta em libras por polegada quadrada).\n
  • Conclusão prática: a maioria das amostras precisa de pressões na faixa alta do conjunto para fraturar; há alguns poucos casos com pressões relativamente menores.

Resposta

- Tabela de frequência (classes, marca, f, \%, F):\n
[2,456,2,546), m=2,501, f=7, 28\%, F=7\n
[2,546,2,636), m=2,591, f=3, 12\%, F=10\n
[2,636,2,726), m=2,681, f=4, 16\%, F=14\n
[2,726,2,816), m=2,771, f=2, 8\%, F=16\n
[2,816,2,906), m=2,861, f=9, 36\%, F=25\n
- Histograma (barras proporcionais às frequências, representação textual):\n
[2,456,2,546): ███████ (7)\n
[2,546,2,636): ███ (3)\n
[2,636,2,726): ████ (4)\n
[2,726,2,816): ██ (2)\n
[2,816,2,906): █████████ (9)\n
- Padrões observados:\n
Maioria concentrada na classe mais alta [2,816,2,906) ( 36\%); distribuição levemente assimétrica à esquerda (média \approx2,694 menor que mediana =2,718); amplitude total pequena ( 0,432) indicando baixa dispersão absoluta.

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