Nos exercícios 29 a 32, determine o comprimento de arco da curva paramétrica.
x=3 cos t, y=3 sen t, z=4;
0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x =3 cos t, y =3 sen t, z =4
com 0<=t <=pi, e pede o comprimento de arco dessa curva no espaço. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica em R^3, cuja fórmula é
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2+l(dzdtr)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas das componentes em relação a t:
dxdt=-3sin t, dydt=3cos t, dzdt=0
Substituindo na raiz do integrando, obtemos
raiz(-3sin t)^2+(3cos t)^2+0^2 =raiz9sin^2 t+9cos^2 t =raiz9=3

Passo 3

Como o integrando é constante igual a 3, o comprimento de arco é
L=integral0^pi3,dt =3l[tr]0^pi =3pi

Resposta

3pi

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