Seja
A=[ccc -2 & 8 & -4 0 & 4 & 0 -0 & -4 & 6 ]
Preencha as lacunas com os autovalores de A, em ordem crescente e seus respectivos autovetores, com primeira coordenada não nula igual a 1 .
l lambda1=square V1=square lambda2=square V2=square lambda3=square V3=square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A e precisa encontrar seus autovalores ( lambda ) e autovetores ( V ). Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar determinantes e resolver equações características. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, a gente precisa resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e lambda são os valores que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = -2 - lambda & 8 & -4 0 & 4 - lambda & 0 0 & -4 & 6 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda) cdot det 4 - lambda & 0 -4 & 6 - lambda - 8 cdot det 0 & 0 0 & 6 - lambda + (-4) cdot det 0 & 4 - lambda 0 & -4
Simplificando os determinantes menores:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda) [(4 - lambda)(6 - lambda) - (0)(-4)] - 8 cdot [0 - 0] + (-4) cdot [0 - 0]
= (-2 - lambda) [(4 - lambda)(6 - lambda)]
Expandindo:
= (-2 - lambda)(24 - 10lambda + lambda^2)
= - (2 + lambda)(lambda^2 - 10lambda + 24)
= -(2 + lambda)(lambda^2 - 10lambda + 24)

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
-(2 + lambda)(lambda^2 - 10lambda + 24) = 0
Igualando a zero:
(2 + lambda)(lambda^2 - 10lambda + 24) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 2 + lambda = 0 lambda = -2
  2. lambda^2 - 10lambda + 24 = 0
Resolvendo a segunda equação quadrática:
lambda^2 - 10lambda + 24 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 10 pm raiz100 - 962 = 10 pm raiz42 = 10 pm 22
Então:
lambda2 = 10 + 22 = 6
lambda3 = 10 - 22 = 4
Então, nossos autovalores são lambda1 = -2 , lambda2 = 4 e lambda3 = 6 .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para isso, resolvemos (A - lambda I)V = 0 para cada lambda .
Para lambda1 = -2 :
A - (-2)I = A + 2I = 0 & 8 & -4 0 & 6 & 0 0 & -4 & 8
Resolvendo (A + 2I)V = 0 :
Isso nos dá o sistema:
0x + 8y - 4z = 0
0x + 6y + 0z = 0
0x - 4y + 8z = 0
Da segunda equação: 6y = 0 y = 0
Substituindo y = 0 na primeira equação: 0 + 0 - 4z = 0 z = 0
A primeira coordenada x é livre, então vamos escolher x = 1 .
Então, o autovetor V1 = 1 0 0
Para lambda2 = 4 :
A - 4I = -6 & 8 & -4 0 & 0 & 0 0 & -4 & 2
Resolvendo (A - 4I)V = 0 :
Sistema:
-6x + 8y - 4z = 0
0x + 0y + 0z = 0
0x - 4y + 2z = 0
Da terceira equação: -4y + 2z = 0 z = 2y
Da primeira equação: -6x + 8y - 4(2y) = -6x + 8y - 8y = -6x = 0 x = 0
Escolhemos y = 1 , então z = 2 .
Então, o autovetor V2 = 0 1 2
Para lambda3 = 6 :
A - 6I = -8 & 8 & -4 0 & -2 & 0 0 & -4 & 0
Resolvendo (A - 6I)V = 0 :
Sistema:
-8x + 8y - 4z = 0
0x - 2y + 0z = 0
0x - 4y + 0z = 0
Da segunda equação: -2y = 0 y = 0
Substituindo y = 0 na primeira equação: -8x + 0 - 4z = 0 8x = -4z z = -2x
Escolhemos x = 1 , então z = -2 .
Então, o autovetor V3 = 1 0 -2

Resposta

l lambda1=-2 V1= 1 0 0 lambda2=4 V2= 0 1 2 lambda3=6 V3= 1 0 -2

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