Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y = -1 - x^2, y = -2x - 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o cálculo de integrais para determinar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se cruzam. Isso é importante porque os pontos de interseção vão definir os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para .

Passo 4

Rearranjando os termos:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 6

Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Agora que temos os pontos de interseção e , vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo. Escolhemos um valor de entre -1 e 3, por exemplo, :
Como , a curva está acima da nesse intervalo.

Passo 8

A área entre as duas curvas de a é dada pela integral da diferença das funções:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Passo 10

Substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 11

Calculamos a diferença:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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