Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o cálculo de integrais para determinar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se cruzam. Isso é importante porque os pontos de interseção vão definir os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para
.
Passo 4
Rearranjando os termos:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 6
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Agora que temos os pontos de interseção
e
, vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo. Escolhemos um valor de
entre -1 e 3, por exemplo,
:
Como
, a curva
está acima da
nesse intervalo.
Passo 8
A área
entre as duas curvas de
a
é dada pela integral da diferença das funções:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 10
Substituímos os limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Passo 11
Calculamos a diferença:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.