Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
, e pelas retas verticais
e
. Isso envolve cálculos de integrais, que fazem parte do cálculo integral na matemática. Vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e como calcular áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais das duas funções,
ou
, está por cima no intervalo de
a
. Isso é importante porque, para calcular a área entre as curvas, subtraímos a função de baixo da função de cima.
Sabemos que:
Subtraindo
de
:
Como
é sempre positivo para qualquer valor de
,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 3
Agora que sabemos qual função está no topo, vamos configurar a integral para encontrar a área. A área
entre as curvas de
a
é dada por:
Substituímos a diferença das funções por
:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma área definida, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração.
Passo 5
Avaliando a antiderivada de
de
a
:
Simplificando:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
, aproximadamente igual a 2,350 unidades quadradas.