Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. x = y^3 e x = y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integração para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde as curvas se intersectam e então calcular a integral definida entre esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Portanto, as curvas se intersectam em , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual das curvas está acima da outra em cada intervalo. Para isso, escolhemos um valor de dentro de cada intervalo e comparamos os valores de .
  • Para entre e , por exemplo, :
    Aqui, está acima de .
  • Para entre e , por exemplo, :
    Novamente, está acima de .
Portanto, em todo o intervalo de a , está acima de .

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral definida da diferença entre as funções superiores e inferiores. No nosso caso:
Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
No entanto, isso indica que a área total calculada é zero, o que acontece porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico em torno da origem. Para obter a área total positiva, podemos calcular o dobro da área de a :
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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