Se h:[0,2 L] longrightarrow R satisfaz h(2 L-t)=h(t) para todo t in[0, L] então verifique que integral0^2 L h(t) d t=2 integral0^L h(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma função definida no intervalo que satisfaz a condição de simetria para todo em . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente propriedades de integrais de funções simétricas. Para resolver, vamos precisar manipular a integral dada usando a condição de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que queremos verificar:
integral0^2L h(t) , dt
Nosso objetivo é mostrar que isso é igual a duas vezes a integral de 2 integral0^L h(t) , dt de a :

Passo 3

Vamos dividir a integral de integral0^2L h(t) , dt = integral0^L h(t) , dt + integralL^2L h(t) , dt a em duas partes: de a e de a :

Passo 4

Na segunda integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja integralL^2L h(t) , dt = integralL^0 h(2L - u) (-du) = integral0^L h(2L - u) , du . Então, quando , , e quando , . Além disso, , então . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, usando a condição de simetria dada integral0^L h(2L - u) , du = integral0^L h(u) , du para , podemos substituir:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original, temos:
integral0^2L h(t) , dt = integral0^L h(t) , dt + integral0^L h(u) , du = 2 integral0^L h(t) , dt

Resposta

Portanto, verificamos que:
integral0^2L h(t) , dt = 2 integral0^L h(t) , dt

Exercícios relacionados