Se
satisfaz
para todo
então verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma função
definida no intervalo
que satisfaz a condição de simetria
para todo
em
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente propriedades de integrais de funções simétricas. Para resolver, vamos precisar manipular a integral dada usando a condição de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que queremos verificar:
Nosso objetivo é mostrar que isso é igual a duas vezes a integral de
de
a
:
Passo 3
Vamos dividir a integral de
a
em duas partes: de
a
e de
a
:
Passo 4
Na segunda integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
. Então, quando
,
, e quando
,
. Além disso,
, então
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, usando a condição de simetria dada
para
, podemos substituir:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original, temos:
Resposta
Portanto, verificamos que: