Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
z=cos (x+4 y), x=5 t^2, y=1 / t

Passo 1

O enunciado dá a função composta com e dependendo de , sendo e . O conteúdo é a Regra da Cadeia: para uma função com , temos .

Passo 2

Definimos a função interna
u = x + 4y,
de modo que z(u)=cos(u). A derivada de z em relação a u é
dzdu = -sin(u)

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u em relação a t:
u = x + 4y implies dudt = dxdt + 4,dydt
Como x=5t^2 e y=1/t, temos
dxdt = 10t, dydt = -1t^2,
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dudt = 10t - 4,1t^2=10t-4t^2

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
dzdt = dzdu,dudt = l(-sin(u)r),l(10t-4t^2r)
Substituindo u=x+4y=5t^2+4/t, obtemos a expressão final.

Resposta

dzdt =-sinl(5t^2+4tr),l(10t-4t^2r)

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