Nos exercícios 31., 32. e 33., encontre a solução geral da equação de Bernoulli.
x y^prime+y-x^2 y^2 ln x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x,dydx + y - x^2y^2ln x = 0,
que podemos reescrever na forma padrão
dydx + 1xy = xln x;y^2
Isto é uma equação de Bernoulli com n=2. Para resolvê-la, vamos usar a substituição
z = y^1-n = y^-1

Passo 2

Como y=1/z, temos
dydx = -1z^2dzdx
Substituindo em
dydx + 1xy = xln x,y^2,
obtemos
-1z^2dzdx + 1x,1z = xln x,1z^2
Multiplicando tudo por -z^2
dzdx - zx = -,xln x

Passo 3

Esta é agora uma equação linear em z:
dzdx - 1xz = -,xln x
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral -tfrac1xdxr) = x^-1
Multiplicando a equação por x^-1 resulta em
ddxl(zxr) = -ln x
Integrando ambos os lados,
zx = -integral ln x,dx + C = -l(xln x - xr) + C = -xln x + x + C
Logo
z = -x^2ln x + x^2 + Cx

Passo 4

Voltando à substituição z = 1/y, temos
1y = -x^2ln x + x^2 + Cx Longrightarrow y(x) = 1-x^2ln x + x^2 + Cx

Resposta

boxedy(x) = 1,x^2(1-ln x)+Cx,,
onde C é constante arbitrária.

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