Nos exercícios 31., 32. e 33., encontre a solução geral da equação de Bernoulli.
x^2 d y=(x y-y^2) d x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Bernoulli
x^2,dy = l(xy - y^2r),dx
Este tipo de equação é da forma
dydx + P(x),y = Q(x),y^n,
com nneq0,1. Aqui teremos que identificar P(x), Q(x) e n e usar a substituição padrão para reduzi-la a uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^2 para ficar em forma padrão,
dydx = xy - y^2x^2 = yx - y^2x^2
Reescrevendo,
dydx - 1x,y = -1x^2,y^2
Logo P(x) = -tfrac1x, Q(x) = -tfrac1x^2 e n=2.

Passo 3

Para Bernoulli usa-se a substituição
z = y^1-n = y^-1,
logo
dzdx = -,1y^2,dydx
Substituindo dydx = -y^2,dzdx na equação padrão:
-,y^2dzdx - 1x,y = -1x^2,y^2
Dividindo tudo por -y^2
dzdx + 1x,z = 1x^2
Esta é uma equação linear em z.

Passo 4

A equação linear é
dzdx + 1x,z = 1x^2
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral tfrac1x,dxr) = x
Multiplicando por x:
x,dzdx + z = 1x Longrightarrow ddxl(x,zr) = 1x
Integrando,
x,z = integral 1x,dx = lnlvert xrvert + C,
onde C é constante arbitrária. Assim
z = lnlvert xrvert + Cx

Passo 5

Voltando à variável original y, como z = y^-1, temos
1y = lnlvert xrvert + Cx Longrightarrow y = xlnlvert xrvert + C

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é
y = xlnlvert xrvert + C,
onde C é a constante de integração.

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