Resolva o problema de valor inicial x d y=(y+x e^y / x) d x, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado por
x,dy = l(y + x e^y/xr),dx, y(1)=1
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem que sugere a substituição
v = yx,
pois aparece o termo e^y/x.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita, temos
dydx = yx + e^y/x
Com a substituição y = x v, calculamos
dydx = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo na equação original:
v + xdvdx = v + e^v
Cancelamos v dos dois lados e obtemos
xdvdx = e^v

Passo 4

Esta equação é separável. Escrevemos
e^-v,dv = dxx,
e agora integramos ambos os lados:
integral e^-v,dv = integral dxx ;Longrightarrow; -,e^-v = ln|x| + C

Passo 5

Isolando e^-v, definimos uma constante C1=-C e ficamos com
e^-v = C1 - ln x
Voltando à variável original v = y/x, chega-mos à solução implícita
e^-,y/x = C1 - ln x

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=1. Em x=1 temos y/x=1, logo
e^-1 = C1 - ln 1 = C1
Portanto C1 = e^-1 e a solução implícita fica
e^-,y/x = e^-1 - ln x

Passo 7

Para tornar explícita, aplicamos logaritmo e isolamos y:
-,yx = lnl(e^-1 - ln xr) ;Longrightarrow; y = -,x;lnl(e^-1 - ln xr)

Resposta

y(x) = -,x ,lnl(e^-1 - ln xr)

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