Toda equação diferencial que pode ser colocada na forma
é uma equação de Riccati.
Se
ou se
, qual o método de solução aplicável à equação de Riccati?
Se
Passo 1
O enunciado trata da equação de Riccati, que é qualquer equação de primeira ordem da forma
Pergunta: se
ou se
, qual método de solução usamos? Vamos ver que em cada caso a equação se reduz a um tipo bem conhecido: linear ou Bernoulli (ou separável).
Passo 2
Caso
, a equação de Riccati perde o termo quadrático e fica
Isto é uma equação linear de primeira ordem no formato
com
e
. Para resolver usamos fator integrante.
Passo 3
Aplicando fator integrante, definimos
Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando,
e assim
Passo 4
Caso
, a equação fica
Podemos encará-la como uma equação de Bernoulli com expoente
ou ainda como uma equação separável. Vou apresentar a via da substituição de Bernoulli.
Passo 5
Na forma de Bernoulli escrevemos
Fazemos a troca
logo
Substituindo
na equação original, obtemos uma equação linear em
:
Novamente aplicamos fator integrante para achar
e depois retornamos à variável
.
Resposta
Se
: aplica-se o método de equação linear de 1ª ordem com fator integrante.
Se : aplica-se o método de Bernoulli (ou separação de variáveis), usando a substituição
.
Se