Toda equação diferencial que pode ser colocada na forma y^prime=a(x) y^2+b(x) y+c(x) é uma equação de Riccati.
Se a(x)=0 ou se c(x)=0, qual o método de solução aplicável à equação de Riccati?

Passo 1

O enunciado trata da equação de Riccati, que é qualquer equação de primeira ordem da forma
y' = a(x),y^2 + b(x),y + c(x)
Pergunta: se a(x)=0 ou se c(x)=0, qual método de solução usamos? Vamos ver que em cada caso a equação se reduz a um tipo bem conhecido: linear ou Bernoulli (ou separável).

Passo 2

Caso a(x)=0, a equação de Riccati perde o termo quadrático e fica
y' = b(x),y + c(x)
Isto é uma equação linear de primeira ordem no formato
y' + P(x),y = Q(x),
com P(x)=-b(x) e Q(x)=c(x). Para resolver usamos fator integrante.

Passo 3

Aplicando fator integrante, definimos
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(-integral b(x),dxr)
Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
mu,y' + mu,P,y = mu,Q Longrightarrow ddxl(mu,yr)=mu(x),c(x)
Integrando,
mu(x),y(x) =integral mu(x),c(x),dx + C,
e assim
y(x) =1mu(x)l(integral mu(x),c(x),dx + Cr)

Passo 4

Caso c(x)=0, a equação fica
y' = a(x),y^2 + b(x),y = yl(a(x),y + b(x)r)
Podemos encará-la como uma equação de Bernoulli com expoente 2 ou ainda como uma equação separável. Vou apresentar a via da substituição de Bernoulli.

Passo 5

Na forma de Bernoulli escrevemos
y' - b(x),y = a(x),y^2
Fazemos a troca
z = y^-1,
logo
z' = -y^-2,y'
Substituindo y' na equação original, obtemos uma equação linear em z:
z' + b(x),z = -a(x)
Novamente aplicamos fator integrante para achar z(x) e depois retornamos à variável y=1/z.

Resposta

Se a(x)=0: aplica-se o método de equação linear de 1ª ordem com fator integrante.
Se c(x)=0: aplica-se o método de Bernoulli (ou separação de variáveis), usando a substituição z=1/y.

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