Nos exercícios 37. a 46., encontre a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
y^prime prime prime-y^prime prime-12 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y''' - y'' - 12y' = 0
O método consiste em assumir uma solução do tipo y=e^rx e resolver o polinômio característico.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação, obtemos o polinômio característico
r^3 - r^2 - 12r = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
r^3 - r^2 - 12r = r,(r^2 - r - 12) = 0
Daí r=0 ou r^2 - r - 12=0. Resolvendo a equação quadrática,
r = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72,
logo r=4 ou r=-3.

Passo 4

Como as raízes r1=0, r2=4 e r3=-3 são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^0cdot x ;+; C2 e^4x ;+; C3 e^-3x
ou, simplificando,
y(x) = C1 + C2 e^4x + C3 e^-3x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^4x + C3 e^-3x

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