Os Exercícios 31 e 32 devem ser resolvidos sem realizar qualquer operação elementar. [Sugestão: Escreva como uma equação vetorial.]
32. Dada a matriz , observe que a primeira coluna menos três vezes a segunda é igual à terceira. Determine uma solução não trivial de A x=0.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= 4 & 3 & -5 -2 & -2 & 4 -2 & -3 & 7
e pede uma solução não trivial de Ax=0 usando o fato de que a terceira coluna é combinação das duas primeiras, sem fazer operações elementares.
Passo 2
Escrevemos Ax=0 na forma vetorial
x1,4-2-2 + x2,3-2-3 + x3,-547 = 000
Passo 3
Observamos que
-547 =4-2-2 -33-2-3
Então
x1c1+x2c2+x3c3 =(x1+x3),c1+(x2-3x3),c2 =0
Como c1 e c2 são linearmente independentes, os coeficientes devem ser zero:
x1+x3=0, x2-3x3=0
Passo 4
Parametrizando por t=x3, temos
x1=-t, x2=3t, x3=t
Para obter uma solução não trivial basta escolher t=1.