Quantas colunas pivôs uma matriz 4 times 6 tem de ter se suas colunas gerarem R^dag>=r ? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz de tamanho (4times6) cujas colunas estão em R^4 e pede que essas colunas gerem todo R^4. Para isso precisamos lembrar que o subespaço gerado pelas colunas de uma matriz A (o espaço-coluna) tem dimensão igual ao posto de A, que por sua vez é o número de colunas pivô na forma escalonada de A.

Passo 2

Sabemos que o posto de uma matriz A de dimensões mtimes n satisfaz
posto(A)<= min(m,n)
No nosso caso m=4 e n=6, logo
posto(A)<= 4

Passo 3

Para que as colunas gerem todo R^4, o espaço-coluna deve ter dimensão 4, isto é,
posto(A)=4
E como o número de colunas pivô é exatamente o posto de A, concluímos que são necessárias 4 colunas pivô.

Resposta

A matriz deve ter 4 colunas pivô.

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