Quantas colunas pivôs uma matriz
tem de ter se suas colunas gerarem
? Por quê?
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz de tamanho
cujas colunas estão em
e pede que essas colunas gerem todo
. Para isso precisamos lembrar que o subespaço gerado pelas colunas de uma matriz
(o espaço-coluna) tem dimensão igual ao posto de
, que por sua vez é o número de colunas pivô na forma escalonada de
.
Passo 2
Sabemos que o posto de uma matriz
de dimensões
satisfaz
No nosso caso
e
, logo
Passo 3
Para que as colunas gerem todo
, o espaço-coluna deve ter dimensão
, isto é,
E como o número de colunas pivô é exatamente o posto de
, concluímos que são necessárias
colunas pivô.
Resposta
A matriz deve ter 4 colunas pivô.