Seja
Representar graficamente o conjunto
, identificando se A é aberto.
Representar graficamente o conjunto
Passo 1
O enunciado define o conjunto
Estamos em geometria analítica e topologia em
. Para resolver precisamos (a) representar graficamente este retângulo aberto e (b) usar a definição de conjunto aberto em
: todo ponto interior deve possuir uma bola de raio positivo contida em
.
Passo 2
Graficamente,
é o interior do retângulo de vértices hipotéticos
,
,
,
. Desenhamos:
- Eixos
e . - As retas verticais tracejadas
e . - As retas horizontais tracejadas
e . - A região entre essas quatro linhas, sem incluir as próprias linhas. Essa região é pintada ou sombreada para indicar que pertence a
.
Passo 3
Para ver que
é aberto, tome um ponto arbitrário
. Então
e portanto as distâncias aos “quatro limites” são positivas:
Defina
Então a bola de raio
centrada em
,
fica inteiramente dentro de
, pois qualquer ponto dessa bola satisfaz
Isso mostra que todo ponto de
é interior, logo
é um conjunto aberto em
.
Resposta
A é o interior do retângulo determinado por
e
(linhas de contorno desenhadas tracejadas e não incluídas) e, por construção de uma bola de raio positivo em torno de cada ponto de
, concluímos que
é aberto.