Seja A=(x, y) in R^2 mid 2<x<3 e -1<y<1
Representar graficamente o conjunto A, identificando se A é aberto.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
;A = (x,y)inR^2mid 2 < x < 3 e -1 < y < 1
Estamos em geometria analítica e topologia em R^2. Para resolver precisamos (a) representar graficamente este retângulo aberto e (b) usar a definição de conjunto aberto em R^2: todo ponto interior deve possuir uma bola de raio positivo contida em A.

Passo 2

Graficamente, A é o interior do retângulo de vértices hipotéticos (2,-1), (2,1), (3,1), (3,-1). Desenhamos:
  1. Eixos x e y.
  2. As retas verticais tracejadas x=2 e x=3.
  3. As retas horizontais tracejadas y=-1 e y=1.
  4. A região entre essas quatro linhas, sem incluir as próprias linhas. Essa região é pintada ou sombreada para indicar que pertence a A.

Passo 3

Para ver que A é aberto, tome um ponto arbitrário (x0,y0)in A. Então
2 < x0 < 3, -1 < y0 < 1
e portanto as distâncias aos “quatro limites” são positivas:
d1 = x0 - 2, d2 = 3 - x0, d3 = y0 + 1, d4 = 1 - y0
Defina
r = mind1,,d2,,d3,,d4 > 0
Então a bola de raio r centrada em (x0,y0),
Bl((x0,y0),rr) = (x,y)mid raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2<r,
fica inteiramente dentro de A, pois qualquer ponto dessa bola satisfaz
2 < x0 - r < x < x0 + r < 3 e -1 < y0 - r < y < y0 + r < 1
Isso mostra que todo ponto de A é interior, logo A é um conjunto aberto em R^2.

Resposta

A é o interior do retângulo determinado por 2<x<3 e -1<y<1 (linhas de contorno desenhadas tracejadas e não incluídas) e, por construção de uma bola de raio positivo em torno de cada ponto de A, concluímos que A é aberto.

Exercícios relacionados