Se a unidade imaginária i é raiz do polinômio p(x)=(x^2-1)(x^2+b x+c)+x, em que b e c são números reais, então, a soma das raízes de p(x) é igual a
b) -12

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x) = (x^2 - 1)(x^2 + b x + c) + x,
com b,cinR, e afirma que i é raiz de p. Queremos encontrar a soma de todas as raízes de p. Para isso vamos: (1) expandir p(x), (2) usar que raízes complexas aparecem aos pares conjugados e impor p(i)=0 para achar b e c, e (3) aplicar a fórmula de Viète para soma das raízes.

Passo 2

Expandindo p(x) e colocando em forma monica, temos
p(x) = (x^2 -1)(x^2 + b x + c) + x = x^4 + b x^3 + (c-1)x^2 + (1 - b)x - c

Passo 3

Como i é raiz, substituímos x=i em p(x). Usando i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, obtemos
p(i) = (i)^4 + b(i)^3 + (c-1)(i)^2 + (1-b)i - c = 1 - b,i -c +1 + (1-b)i - c
Agrupando parte real e imaginária:
p(i) = (2 - 2c) + (1 - 2b),i
Para p(i)=0, ambas partes devem anular:
,2 - 2c = 0 e 1 - 2b = 0.

Passo 4

Resolvendo
2 - 2c = 0 implies c = 1,
1 - 2b = 0 implies b = tfrac12

Passo 5

O polinômio é monico de grau 4, logo pela relação de Viète a soma de todas as raízes é -coeficiente de x^3, i.e.
soma das raízes = -b = -tfrac12 í

Resposta

-tfrac12

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