Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x 0 tg(3 x)tg(5 x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0tg(3x)tg(5x)
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções trigonométricas próximas a zero, usando o limite fundamental
limtto0sin tt=1
e a relação
tgt=sin tcos t,
que implica
limtto0tgtt=1

Passo 2

Para explorar esse resultado, reescrevemos a razão de modo a envolver expressões do tipo tg(kx)/(kx):
tg(3x)tg(5x) =tg(3x)3x;cdot;3x5x;cdot;5xtg(5x)
À medida que xto0:
  • tg(3x)3xto1 pelo limite limtto0tgtt=1.
  • 5xtg(5x)=l(tg(5x)5xr)^-1to1^-1=1.
  • 3x5x=35 é constante.
Logo, o produto dos três fatores tende a
1;cdot;35;cdot;1=35

Resposta

35

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