Se a unidade imaginária i é raiz do polinômio p(x)=(x^2-1)(x^2+b x+c)+x, em que b e c são números reais, então, a soma das raízes de p(x) é igual a
d) 14

Passo 1

Aqui a gente tem o polinômio
p(x) = (x^2 - 1),(x^2 + b,x + c) + x
com b,cinR e sabe que i é raiz. O objetivo é achar a soma de todas as raízes de p(x). Vamos usar o fato de que, para polinômios com coeficientes reais, raízes complexas vêm aos pares conjugados, e depois aplicar a fórmula de Vieta.

Passo 2

Como i é raiz, vale
p(i) = l((i)^2 - 1r)l((i)^2 + b,i + cr) + i = 0
Como (i)^2 = -1, isso fica
-2,l(c - 1 + b,ir) + i = 0 ;Longrightarrow; -2(c-1) + i(1 - 2b) = 0

Passo 3

Separando em parte real e parte imaginária:
-2(c-1) = 0 Longrightarrow c = 1,
1 - 2b = 0 Longrightarrow b = tfrac12

Passo 4

Para um polinômio monico de grau 4 com termo x^3 igual a b,x^3, a soma de todas as raízes é -b. Portanto,
soma das raízes = -b = -tfrac12 í

Resposta

-tfrac12

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